2024年1月12日发(作者：)

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随机过程习题解答

第一章习题解答

1．

设随机变量X服从几何分布，即：P(Xk)pqk,k0,1,2,。求X的特征函数，EX及DX。其中0p1,q1p是已知参数。

解

fX(t)E(ejtx)jtkkepq

k0= 又kp(qejt)kk0p

1qejtqqE(X)kpqpkqp2

ppk0k0knnn （其中

nx(n1)xx）

n0n0n0令

S(x)(n1)x

nn0则

0xS(t)dt(n1)tdtnk002kkk0k0xxn1n0kk0x

1x同理

kx(k1)x2kxxk

k02令S(x)(k1)k0xk 则

2kS(t)dt(k1)0k0xtdt(k1)xk0k1kxkk1）

2、（1） 求参数为(p,b)的分布的特征函数，其概率密度函数为

（2）

（3）

其期望和方差；

证明对具有相同的参数的b的分布，关于参数p具有可加性。

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解 （1）设X服从(p,b)分布，则

（2）E(X)1fj'X(0)p

b（4）

若Xi(pi,b)

i1,2 则

bPif(t)()同理可得：Xi

bjt3、设ZlnF(X),并求E(Zk

)(k是常数）。X是一随机变量，F(x)是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

（1）YaF(X)b,(a0,b是常数)；

（2）ZlnF(X),并求E(Z解 （1k)(k是常数）。

）P{F(x)y}P{xF1(y)}F[F1(y)]y

（0y1）

0F(y)y1y00y1

y1

F(x)在区间[0，1]上服从均匀分布

jtxe1jtjtx1(e1)

0F(x)的特征函数为fX(t)edxjtjt01（2）fZ(t)E(ejtz)E[ejtlnF(x)]

1jtlnye1dy

=01 =ydy1jt

0jt14、设X，X，12Xn相互独立，且有相同的几何分布，试求Xkk1n的分布。

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jt解

Xkk1nf(t)E(enxkk1n)

jtxkE(e)

=k1n = =pnp

jtk11qe(1qejt)n

kn =Ck0pn(q)kejtk

5、 试证函数变量

的分布。

ejt(1ejt)f(t)为一特征函数，并求它所对应的随机jtn(1e)ejt(1ejnt)1ejt(1ejt)f(t)limlim1

证 （1）tlimjtjt0t0n(1e)t0n1e

f(0)1

limf(t)1

f(t)为连续函数

t0nnnnf(ti1k1itk)iki1k1ejtiejtin{1(jtk)}jtkeeikjti

en(1jtk)eejtiejtiejti{1(jtk)(1jtknnjtkeeejti =ei1k1n(1jtk)e)}ik

1nnnj(titk)l]ik =n[ei1k1l1__________________________________________________

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1nnnejlti =nejltkiki1k1l1

1nnjltinnjltkk =eieni1l1k1l1

f(titk)ik0

i1k1nn

非负定

（2）ejt(1ejnt)f(t)

n(1ejt)e(n1)tj)ejt(1ejt)(1ejte2jt =n(1ejt)

1njtk =e

nk1

P{xkk} （k0,2,n）

6、证函数f(t)解 （1）1为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

21tnni1nf(ti1k1nntk)ik

=i1k1ik1(titk)2i1k1nnik1M20 （Mmax{titk}）

1i,jn 且f(t)连续f(0)1

f(t)为特征函数

（2）f(t)11111[]

221t1(jt)21jt1jt1(jt1)xdxe(jt1)xdx] =[e2001jtxxedx =2__________________________________________________

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jtx =e1xedx

2

P(x)ex

7、设X1，X2，Xn相互独立同服从正态分布N(,2)，试求n 维随机向量(X1,X2,121nXn)的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求XXi的率密度ni1函数。

解

P(x1,x2,xn)Pi1nxi(xi)

2(xa)ii1n

1(2)nn2exp{22}

221f(t)exp{jatt} 又

Xi的特征函数为：Xi2

fX1,X2Xn(t1,t222tn)f(ti)exp{(jati1ti)}

2i1i1nn 均值向量为{,,}

 协方差矩阵为Bdiag(2,2,2)

又ttfX(t)f(n,n,tnt)f(n)exp{jat21n2t2]

i1n8、设X．Y相互独立，且（1）分别具有参数为(m,p)及(n,p)分布；（2）分别服从参数为(p1,b),(p2,b)的分布。求X+Y的分布。

jtxkjtxxxnxf(t)ePekCnpq 解（1）Xkx0nn =(peit)xCnxqnx

x0__________________________________________________

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=qn(x0npjtxqe)Cnx

pjtn =qn(1qe)

=(qpejt)n

jtjt则

fX,Y(t1,t2)(pe1q)m(pe2q)n

fXY(t)fX(t)fY(t)(pejtq)mn

XYb(mn,p)

（2）

jtp1fX(t)(1)bjt(p1p2)fXY(t)(1)

bXY(p1p2,b)9、已知随机向量（X、Y）的概率密度函数为

2214[1xy(xy)],1x,y1

p(x,y)

0,其他求其特征函数。

解

f(t1,t2)E{ej(t1xt2y)}

11j(1xt2y)331(1xyxy)dy

4111 ＝e1jt1x331 ＝2edx[cost2yj(xyxy)sint2y]dy

101sint1sint2 ＝t1t210、已知四维随机向量(X1,X2,X3,X4)服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵E1X2X3X4）。为B(kl)44,求（X

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解

E(X1,4f(t1,t4)X4)(j)4[](t1,t4)'t4)exp[12tBt]

t1t40

又f(t1, ＝exp{11 其中B213141

12tt}

klklk1l14412223242132333431424

cov(X,X)

(k,l1,2,3,4)

klkl3444（X1X2X3X4）=123413242314

E11、设X1，X2和X3相互独立，且都服从N（0，1），试求随机变量Y1X1X2和Y2X1X2组成的随机向量（Y，Y）12的特征函数。

解

fX1,X2,X3(t1,t2,t3)exp{jtkxk}

k13jtkxk21eexp{t2k} ＝k1k133 ＝fX1,X2,X3(u1u2,u3,u4)

222＝exp{12[((u1u2)u1u2)]}

12、设X1，X2和X3相互独立，都服正态分布N（0，2），试求：

（X1，X2，X3）（1） 随机向量的特征函数。

（2） 设S1X1,S2X1X2,S3X1X2X3,，求随机向量(S1,S2,S3)的特征函数。

Y1X2X1和Y2X3X2组成的随机向量（Y，Y）（3）

12的特征函数。

解（１）fX,X11222(ttt,tt,t)exp{[(ttt)(tt)t]}

,X32322,3 （２）fS,SS(t1,t2,t3)E{exp[j(t1s1t2s2t3s3)]}

1 ＝E{exp[j((t1t2t3)x1(t2t3)x2t3x3]}

＝fX,X12,X3(t1t2t3,t2t3,t3)

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＝exp{[(t1t2t3)2(t2t3)t32]2}

（３）fY1,Y2(t1,t2)E{ej(t1y1t2y2)12}

＝E{exp[j(t1x1(t1t2)x2t2x3]}

2222 ＝exp[12(t1(t1t2)t2]}

（X1，X2，X3）13、设服从三维正态分布N（0，B），其中协方差矩阵为B=（ld）33,，且1122332.试求。

解2E[(X122)(X222)(X32)]

＝E[X12X22X32]E[X12X22X12X32X22X32]34E[X12]6

' 又f(t)exp{12tBt}

4f

22t1t2t1t2t30242b12

2 同理可得

E(X12X32)42b13

2

E(X22X32)42b23

2222b138b12b23b13

E(X12X22X32)622b12

E[(X122)(X222)(X322)]8b12b23b13

14、设X1，X2，Xn相互独立同服从分布N（0，）。试求Ynexp(Xi2)的期望。

2i1n解XkN(0,2)

(k1,2,n)

令X(x1,x2,xn)

t(t1,t2,tn)

则

1fX(t)exp{tdiag(2,2,212n2)t}exp{tk}

2k12'n2E(Yn)E{exp(tk)}

k1__________________________________________________

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n22xk1e2dxk

22xk

1k1

yn( ＝k1n221)x

2k12k1n1211((21)2)eykdyk

22111(21)2

22n2 ＝(12)

215、设X．Y相互独立同分布的N(0,1)随机变量，讨论UX2Y2和V 解

Z1X2Y2

XZ2Y22X的独立性。

Yz1z2z1z2xxz1xy221z1z22有

 或

xzz1z12yyy221z21z2 则J12x1y2yxyx222222(z21)

yx2y22又RXY(x,y)1e2

(x,y)R2

1z2111P(z,z)e[]

Z1,Z212222(1z2)(z10,z2R)

1z21

PZ1(z1)e2

(z10)

11PZ2(z2)2

z2R

21z2Z1服从指数分布，

对(z1,z2)R2,有

Z2服从柯西分布，且

PZ1,Z2(z1,z2)PZ1(z1)pZ2(z2)

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Z1,Z2 相互独立。

16、设X． Y相互独立同服从参数为1的指数分布的随机变量，讨论UXY和VX的独立性。

XYexx0解（1）PX(x)

x00e(xy)x0,y0

PX,Y(x,y)

其它0 (2)

PU（u,v）=eV-[u(1-v)+uv]ueu0u0v1

u其它0 (3)

PU(u)PUV(u,v)dv0u0

uueu00v0或v1

PV(v)u

uedu10v102

PUV(u,v)PU(u)PV(v) 对(u,v)R均成立

U,V相互独立

17、设二维随机变量的概率密度函数分别如下，试求E（XYy)

（X，Y）1yxy,x0,y0e（1）p(x,y)y

0,其它2ex,0yx（2）p(x,y)

,其它0证 （1）E{XYy}xPXY(xy)dx

 =01yxyxedxy1yxyedxyy

0__________________________________________________

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 （2）E(XYY)x2exdx2xedxyy1y

18、设X、Y是两个相互独立同分布的随机变量，X服从区间[0，1]上的均匀分布，Y服从参数为的指数分布。试求（1）X与X+Y的联合概率密度；（2）D(XYy).

解

PX(x)1x(0,1)0其它

Peyy0Y(y)0y<0

P(x,y)ey0x1y0X,Y0其它y<0

令UXY 则J10xuVX

yvu

Pe(vu)0u1vuX,XY(u,v)PX,Y(u,vu)J0其它

（2）D(XYy)D(x)1314112

n0n19、设X1,2,是一列随机变量，且Xn,n0,n，其中121nk1nknk数。试证：

（1） 当k1时，Xn几乎收敛于0。

（2） 当k2时，Xn均方收敛于0；

（3） 当k2时，Xn不均方收敛于0。

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K 是正常

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证 令X0

Pk

1k

12nXn

n

nk

1k

nn

0

Pk

12nk

2nk

Xn2 0

n2

P{limXn0}1 (当k1，limnn20)

Xn几乎肯定

kn收敛于0

E{XnX}E{Xn2}2n2k

limE{XnX}lim2n2k0 当k2时，nn22Xn均方收敛于0

E{XnX}0 当k2时，limn2 即Xn不均方收敛于0。

PPPa,Ynb,试证XnYnab. 20、设Xn证0

{(xnyn)(ab)}={(xna)(ynb)}

{xna}{ynb}

22

0P{(xnyn)(ab)}

P{xna}P{ynb}0

(n)

22Pab

xnyn__________________________________________________

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第二章习题解答

1.设X(i1,2,)是独立的随机变量列，且有相同的两点分布Y(0)0,Y(n)Xi，试求：

i1n11，令1122（1） 随机过程{Y(n),n0,1,2,}的一个样本函数；

（2）

P[Y(1)k]及P[Y(n)=k]之值；

（3）

P[Y(n)k]；

（4） 均值函数；

（5） 协方差函数；

解： （1）当Xi1

时，(i1,2,)，y(n)n

k1或11（2）P{y(1)k}P{X1k}2

其它0X1X2 2 0 -2

Pk

111

424

1412

p{Y(2)k}P{X1X2k}140k2k0

k2其它当n 为奇数时

n

n2

Y（n）

CCCPk

2220nn1nn

1

1

n2

n

n12nnC

2n12nnn1nCnCn

n

n

22__________________________________________________

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当n为偶数时

n

n2

Y（n）

CCCPk

2220nn1nn

2 ０

2

n2

n

n[]12nn

C2n[]12nnn1nCnCn

n

n

22（４）E[Y(n)]E[xi]E(xi)

i1i1nn 而E(xi)0

E[Y(n)]0

（５）Cov[Y(n),Y(m)]E{xixj]

i1j1nn

若mn

E{x}E{xk2}m

2kk1k1nn

 若nm，则有Cov[Y(n),Y(m)]=n

即有Cov[Y(n),Y(m)]=min(n,m)

2.设X(t)AcostBsint，其中A、B是相互独立且有相同的N(0,2)分布的随机变量，是常数，t(,)，试求：

（1）X（t）的一个样本函数；

（2）X（t）的一维概率密度函数；

（3）均值函数和协方差函数。

解：（1）当A=B=1时，X(t)costsint

（2）20costX(t)(A,B)

(A,B)~N(0,B1)

B12sint0__________________________________________________

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X(t) ～N(0,)

pX(x)221e2x(,)

2x2（3）E[X(t)]0

cov[X(s),X(t)]E{(AcossBsins)(AcostBsint)}

2cos(st)

3.设随机过程X(t)(YkcosktZksinkt),t0。其中Y1,Y2,,Yn,Z1,Z2,Zn是相互独k1n立的随机变量，且Yk,Zk～N(0,k2),k1,2,n。

（1）求{X(t)}的均值函数和相关函数；

（2）证明{X(t)}是正态过程。

解：（1）E[X(t)][E(Yk)cosktE(Zk)sinkt]0

k1nRX(s,t)E[X(s)X[t]]

E{[(YkcosksZksinks)][(YkcosktZksinkt)]}k1k122

E[(YkcoskscosktZksinkssinkt)]k1n2nnn

cos(st)kk1（2）(X(t1),X(t2),,X(tn))(Y1,Y2,,Yn,Z1,Z2,,Zn)A

(Y1,Y2,,Yn,Z1,Z2,,Zn)~N(0,B)

cos1t1cos1t2cosnt1cosnt2其中Asin1t1sin1t2sintsintn1n2cos1tncosntn22，Bdiag(1,2,sin1tnsinntn2k2,12,2,k2)

由n维正态分布的线性性质得

(X(t1),X(t2),,X(tn))～N(0,A'BA)

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因此X(t)是正态过程。

4.设{W(t),t0}是参数为2的Wiener过程，求下列过程的均值函数和相关函数：

（1）X(t)W2(t),t0; （2）X(t)tW(),t0

（3）X(t)c1W(c2t),t0 （4）X(t)W(t)tW(t),0t1

解：（1）mX(t)E[X(t)]E[W2(t)]2t

RX(s,t)E[W2(s)W2(t)]E[W2(s)]E[W2(t)]2{E[W(s)W(t)]}2

1t4st24min2(s,t)

（2）mX(t)E[tW()]0

1111RX(s,t)E[sW()tW()]stE[W()W()]

stst11st2min(,)st

2min(s,t)1t（3）mX(t)E[X(t)]E[c1W(c2t)]c1E[W(c2t)]0

RX(s,t)E[X(s)X(s)]E[c1W(c2s)c1W(c2t)]

c2E[W(c2s)W(c2t)]c22c2min(s,t)2min(s,t)

（4）mX(t)E[X(t)]E[W(t)tW(t)]0

RX(s,t)E[X(s)X(t)]

E{[W(s)sW(s)][W(t)tW(t)]}

(1s)(1t)EW(s)W(t)(1s)(1t)2min(s,t)

5.设到达某商店的顾客组成强度为的Poisson流，每个顾客购买商品的概率为p,且与其他顾客是否购买商品无关，若{Y(t),t0}是购买商品的顾客流，证明{Y(t),t0}是强度为p的Poisson流。

证：令Xn表示“第n个顾客购买商品”，则P(Xn1)p,P(Xn0)1pq且__________________________________________________

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Y(t)Xn。其中N(t)为[0,t]时间段内到达商店的顾客人数，则Y(t)的特征函数n1N(t)为

fY(t)(u)E{exp[juY(t)]}

E{exp[juXn]}n1N(t)E{exp[juXk]N(t)n}P{N(t)n}n0k1N(t)

n(t)[pejuq]netn!n0

ept(eju1){Y(t),t0}是强度为p的Poisson流。

6.在题5中，进一步设{Z(t),t0}是不购买商品的顾客流，试证明{Y(t),t0}与{Z(t),t0}是强度分别为p和(1p)的相互独立的Poisson流。

证：（1）N(t)Z(t)Y(t)

fZ(t)(u)E{exp[ju(NXi)]}

i1N(t)(t)ntE{exp[ju(nXi)]}en!n0i1n1[teju(pejuq)]et

n0n!eet(pqeju)tt(1p)(eju1)n

fN(u)E{exp[juN(t)]}

k(t)ejuketk!k0

t(eju1)e__________________________________________________

__________________________________________________

fN(u)fY(u)fZ(u)

{Z(t),t0}与{Y(t),t0}独立且强度为(1p)的Poisson流。

7.设{N1(t),t0}和{N2(t),t0}分别是强度为1和2的独立Poisson流。试证明：

（1）{N1(t)N2(t),t0}是强度为12的Poisson流；

（2）在{N1(t),t0}的任一到达时间间隔内，{N2(t),t0}恰有k个时间发生的概率为

pk11212.(2)k,k0,1,2,

证：（1）fN1(t)N2(t)(t)E{eju(N1N2)}

E{ejuN1}E{ejuN2}e1(eju1)eju2(eju1)

e(12)(e1)

{N(t),t0}是强度为12的Poisson流。

（2）令T表示过程{N1(t)N2(t),t0}任两质点到达的时间间隔。A表示{N2(t),t0}恰有1个事件发生在{N1(t),t0}的任一到达时间间隔内，则P(A)P{T2T1}2e02xdx1e1ydy

x8.设{N(t),t0}是Poisson过程，n和Tn分别是{N(t),t0}的第n个事件的到达时间和点间间隔。试证明：

（1）E(n)nE(Tn),n1,2,；

（2）D(n)nD(Tn),n1,2,。

证：E(Tn),E(n),D(Tn)1n1,D(n)2n2

E(n)nE(Tn),n1,2,

D(n)nD(Tn),n1,2,

9.设某电报局接收的电报数N(t)组成Poisson流，平均每小时接到3次电报，求：__________________________________________________

__________________________________________________

（1）一上午（8点到12点）没有接到电报的概率；

（2）下午第一个电报的到达时间的分布。

解：

10.设{N1(t),t0}和{N2(t),t0}分别是强度为1和2的独立Poisson过程，令X(t)N1(t)N2(t),t0，求{X(t),t0}的均值函数与相关函数。

解：E[X(t)]E[N1(t)N2(t)]E[N1(t)]E[N2(t)](12)t

RX(s,t)E[X(s)X(t)]E{[N1(s)N2(s)][N1(t)N2(t)]}

E[N1(s)N1(t)N1(s)N2(t)N2(s)N1(t)N2(s)N2(t)]

12st1min(s,t)2st1222st2min(s,t)(12)2st(12)min(s,t)

11.设{X(t),t0}是强度为的Poisson过程，T是服从参数为的指数分布的随机变量，且与{X(t)}独立，求[0,T]内事件数N的分布律。

解：由[0,T]内N的分布律为：

(x)kxepT(x)dx

P(N(T)k)k!kk!0xke()xdx

kk!k!()k1

k0,1

k()k1第三章习题解答

1．证明Poisson随机变量序列的均方极限是Poisson随机变量。

nkn证：令{Xn,nN}是Poisson随机变量序列，则对nN

p{Xnk}ek0,1

k!E{Xn}lim(2)2E(X)，其中X为Poisson随机变量。 又limnn222．设Xn,n1,2，是独立同分布的随机变量序列，均值为，方差为1，定义__________________________________________________

__________________________________________________

1nYnXi，证明。

nni1证：1nXknk121n[XkE(Xk)]

nk11nE{[XkE(Xk)]}nk1nn12E{[XkE(Xk)][XlE(Xl)]}nk1l1221nn

2cov(Xk,Xl)nk1l11n2D(Xk)(Xn的独立性)nk110(n)n

。

n3．研究下列随机过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。

（1）X(t)AtB，其中A、B是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a、b，方差为12、22；

（2）X(t)At2BtC，其中A、B、C是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a、b、c，方差为12、22、32；

（3）{N(t),to}是Poisson过程；

（4）{W(t),to}是Wiener过程。

解：（1）E[X(t)]E[AtB]tab

RX(s,t)E{X(s)X(t)}E{(AsB)(AtB)}

stE(A2)sE(AB)tE(AB)E(BB)st(a)sabtabb212222

是关于s, t的多项式函数

存在任意阶的偏导数

__________________________________________________

__________________________________________________

过程是均方连续，均方可导，均方可积。

22(2)EX(T)EAtBtCatbtc

RX(s,t)EX(s)X(t)

E(As2BsC)(At2BtC)22s2t2(a212)s2tabs2acst2abst(b22)t2actbcc23

（3）由RN(s,t)2stmin(s,t)知Poisson过程{N(t),to}是均方连续，均方可积的。

RN(ts,t)RN(t,t)2(ts)tt(2t2t)limlim2ts0s0ss

R(ts,t)RN(t,t)limN2ts0s''(t,t)不存在，即均方不可导。

RN（4）由RW(s,t)2min(s,t)知Wiener过程{W(t),to}是均方连续，均方可积的。

RW(tt,t)RW(t,t)0lim0t0tt0t

R(tt,t)RW(t,t)limW2t0tlim''(t,t)不存在，即均方不可导。

RW4．试研究上题中过程的均方可导性，当均方可导时，试求均方导数过程的均值函数和相关函数。

解：（1）均方可导

mX'(t)a

''RX'(s,t)Rst(s,t)12a2

又RX(s,t)st(12a2)ab(st)22b2

__________________________________________________

__________________________________________________

1{RX(ss,tt)RX(ss,t)RX(s,tt)RX(s,t)}t0tss0limlim12{(ss)(tt)(12a2)ab(ss)(tt)2b2t0tss02[(ss)t(12a2)ab(sst)2b2]2[s(tt)(12a2)ab(stt)2b2]2[st(12a2)ab(st)2b2]}

lim1{(12a2)st}12a2t0tss0XT均方可微。

（2）均方可导，且

E[X'(t)]mX'(t)2atb''2RX'(s,t)Rts(s,t)[(a12)s22tabs2abs2t(b22)sac2bc0]'s24(a212)st2abs2abtb220

4(a)st2ab(st)b221222

（3）Poisson过程{N(t),to}均方不可导。

（4）Wiener过程{W(t),to}均方不可导。

5．求下列随机过程的均值函数和相关函数，从而判断其均方连续性和均方可微性。

（1）X(t)cos(t)，其中是常数，服从[0,2]上的均匀分布；

（2）X(t)tW(),t0，其中W(t)参数为1的Wiener过程；

（3）X(t)W2(t),t0，其中W(t)参数为2的Wiener过程。

解：（1）E{X(t)}121t20cos(t)d21sin(t)0。

02RX(s,t)E{X(s)X(t)}E{cos(s)cos(t)}

12[cos((ts)2)cos((ts))]d40

1cos(ts)2__________________________________________________

__________________________________________________

（2）E{X(t)}E{tW()}0

当st，RX(s,t)E{tsW()W()}stE{[W()W()W()]W()}

stE{W2()}stmin(,)s

RX(s,t)min(s,t)min(s,t)

均方连续，但均方不可微，均方可积。

1t1s1t1s1t1t1t1t11st（3）E{X(t)}E{W2(t)}2t

4s(t2s)st

RX(s,t)E{W(s)W(t)}4stt(s2t)s22均方连续，但均方不可微，均方可积。

6．均值函数为mX(t)5sint、相关函数为RX(s,t)3e0.5(ts)2的随机过程X(t)输入微分电路，该电路输出随机过程Y(t)X'(t)，试求Y(t)的均值函数和相关函数、X(t)和Y(t)的互相关函数。

解：E[Y(t)]E[X'(t)]mX(t)(5sint)t'5cost

'RY(s,t)E[Y(s)Y(t)]E[X'(s)X'(t)]

222RX(s,t)(3e0.5(ts)(ts))t'3[1(ts)2]e0.5(ts)

stRXY(s,t)E[X(s)Y(t)]E[X(s)X'(t)]3(ts)e0.5(ts)

27．试求第3题中可积过程的如下积分：

1t1tLY(t)X(u)du

Z(t)X(u)du

t0Lt的均值函数和相关函数。

t11t1Au2解：（1）Y(t)0(AuB)du(Bu)AtB

02tt2E[Y(t)]atb

2111ABABRY(s,t)E{(AsB)(AtB)}E{A2ststB2}

22422__________________________________________________

__________________________________________________

st212(1a2)(2b2)ab(st)

42tL1tL1Au2又Z(t)t(AuB)(Bu)AtALB

tLL2E[Z(t)]a(tL)b

RZ(s,t)E{[A(sL)B][A(tL)B]}

(sL)(tL)(12a2)(22b2)ab(sL)ab(tL)

tAt2Bt1t1Au3Bu22（2）Y(t)0(AuBuC)du(Cu)C

0tt3232at2btc

E[Y(t)]32As2BtAt2BtRY(s,t)E{(C)(C)}

32321st21B(ts)BCC2}

342tsabtsacst2bc2

()2(12a2)(ts)(t2s2)(2b2)(ts)3c2

36342

E{()2A2(t2sts2)AB(t2s2)ACts316Z(t)tL1tL1A3B22

(AuBuC)du(uuCu)ttLL322L2LA(ttL)B(t)C

32L2LE[Z(t)]a(ttL)b(t)c

322L2LL2L2RZ(s,t)E{[A(ssL)B(s)C][A(ttL)B(t)C]}

32322L22L2LL2(a)(ssL)(ttL)(2b2)(s)(t)3322L2L2L2L22222

(3c)ab[(ssL)(ttL)(s)(ttL)]

3323L2L2LL22ac[(ssL)(ttL)bc[(s)(t)]]33222122(3)Y(t)1t1tLN(u)duZ(t)N(u)du

0ttL__________________________________________________

__________________________________________________

t11tu2ttE[Y(t)]E[N(u)du]udu

0tt02t02当st时

RY(s,t)E[Y(s)Y(t)]t1E{N(u)N(v)dudv}

0ts1st1stRN(u,v)dudv[uvmin(u,v)]dudvts00ts00

2sts(3ts)46t2sts(3ts)st46tRY(s,t)2

ststt(3st)6s4tL11tLE[Z(t)]E[N(u)du]udu(2tL)

tLLt2当otsL

RZ(s,t)E[Z(s)Z(t)]12LsLtL1E{N(u)N(v)dudv}

2stL

ssLtLt[uvmin(u,v)dudv]LL(st)11(s)(t)2[3(sL)22(sL)3t3]22L26L

当Lts0时

(st)112[3(tL)22(tL)3s3]

L26L1t1tL(4)Y(t)0W(u)du

Z(t)tW(u)du

tL1t

E[Y(t)]0E[W(u)]du0

E[Z(t)]0

t

RZ(s,t)(s)(t)L2L21st2RY(s,t)RW(u,v)dudvts00tsmin(u,v)dudv

00stsduuvdvsudutdv000u

tvtsdvuduvdvdu00v02s(3ts)st6t

2

stt(3st)6s__________________________________________________

__________________________________________________

1RZ(s,t)2LssLtLtRW(u,v)dudv2L2ssLtLtmin(u,v)dudv

usLtLsLu2sLL2[tdutvdvsudutvdvtdutvdv](0tsL)2(0stL)2L



2sLL2udu(s)(sLt)2sL22sLtLL2duvdv(t)(tsL)2stL28．设随机过程X(t)Ve3tcos2t，其中V是均值为5、方差为1的随机变量，试求随机过程Y(t)0X(s)ds的均值函数、相关函数、协方差函数与方差函数。

5e3t(2sin2t3cos2t3) 解:E[Y(t)]05ecos2sds13t3stRY(s,t)s0t0E(v2)e(uv)cos2ucos2vdudv

s3ut26ecos2udue3vcos2vdv00e3se3t

26[(2sin2s3cos2s3)(2sin2t3cos2t3)]

13132e3(st)(2sin2s3cos2s3)(2sin2t3cos2t3)13COVY(s,t)RY(s,t)mY(s)mY(t)

2e3(st)(2sin2s3cos2s3)(2sin2t3cos2t3)

13D[Y(t)]RY(t,t)[mY(t)]2

26t25e(2sin2t3cos2t3)22e6t(2sin2t3cos2t3)213

13

6te(2sin2t3cos2t3)21699．设{W(t),t0}是参数为2的Wiener过程，求下列随机过程的均值函数和相关函数。

__________________________________________________

__________________________________________________

（1）X(t)0W(s)ds,t0；

（2）X(t)0sW(s)ds,t0；

（3）X(t)[W(s)W(t)]ds,t0

tt1tt解：（1）E[X(t)]0E[W(s)]ds0

RX(s,t)s0tmin(u,v)dudv

0tust2s2s2[duvdvududv](3ts)0ust006

22stt(3st)6（2）E[X(t)]0

RX(s,t)s0uvmin(u,v)dudv

0ts5t2s3s52s322uduvdvuduvdv()(5ts)000u1561030

23t(5s2t2)302su2s2t2stst

（3）E[X(t)]0

RX(s,t)s1st1tE{[W(u)W(s)][W(v)W(t)]}dudv

01st或st1t1s12sts1

tsmin(us,vt)dudv

s1t1tst12min(us,vt)dudvst03t(s1)2t2(s1)t32(s1)

[]

62262(t1)3s(t1)2s2(t1)s3][62261st或st1sts1

tst1X'(t)aX(t)0(a0)的解及解的均值函数、相关10．求一阶线性随机微分方程X(0)X0函数及解的一维概率密度函数，其中X0是均值为0、方差为2的正态随机变量。

__________________________________________________

__________________________________________________

解：（1）dxxadt

lnxatlnc

X(t)ceat

X(0)c

X(t)X0eat 解过程为：{X0eat,t0}

（2）E[X(t)]E[X0eat]0

RX(s,t)E{X0ea(st)}2ea(st)

FX(x)P{Xx}P{X0eatx}P{X0xeat}FX0(xeat)

ePX(x)F(x)eF(xe)e2'Xat'X0atatx2e2at22

11．求一阶线性随机微分方程的解及解的均值函数、相关函数。

Y'(t)X(t),t[a,b]（1）(a0)，其中X(t)是一已知的二阶均方连续过程，Y0是与Y(a)Y0X(t)独立的均值为m、方差为2的随机变量。

Y'(t)aY(t)X(t),t0(a0)，其中X(t)是一已知的均值函数为mX(t)sint、（2）Y(0)0相关函数为RX(s,t)ets(0)的二阶均方连续过程。

解：（1）YY(t)dtaX(u)du

'0Yt

Y(t)Y0aX(u)du

Y(t)Y0aX(u)du

即方程的解为：Y(t){Y0aX(u)du,t[a,b]}

E[Y(t)]E[Y0aX(u)du]E[Y0]E[aX(u)du]mamX(u)du

（2）均方解为：Y(t)0X(s)ea(ts)ds

E[Y(t)]mX(s)ea(ts)dssinsea(ts)ds00ttttttttt1at(ecostasint)

21aRY(s,t)s0t0euvea(stuv)dudv

（当ts时）

__________________________________________________

__________________________________________________

dve00tv(vu)ea(stuv)vdudve(vu)ea(stuv)du0vts0vtsea(st)e(a)vdve(a)uduea(st)e(a)vdve(a)udu00tea(st)t(a)v(a)vea(st)t(a)v(a)s(a)ve[e1]dve[ee]dv

00aaea(st)12at1ea(st)e(a)s(a)t1(a)t[(e1)(e1)][(e1)(e2at1)]a2aaaa2a1(st)a(st)(tas)(ats)(st)2[ee(1)eee]2aaa第四章习题解答

1.随机过程X(t)Acos(wt)，其中A具有Rayleigh分布，即其概率密度函数为xx22exp(22),x0P(x)(0)

0,x0式中服从区间[0,2]上的均匀分布，且A、相互独立，试研究X是否为平稳过程。

解:

E[X(t)]E(A)E[cos(t)]

2x2x21

2exp(2)dx220cos[t]d

0

0

RX(s,t)E{Acos(s)cos(t)}

2

E(A)E[cos(s)cos(t)]

x3x212exp(2)dx2402{cos[2(ts)]cos(ts)}d0222cos(ts)

42cos(ts)

__________________________________________________

__________________________________________________

{X(t),tT}是平稳过程.

2、X是一平稳过程，且满足，称X为周期平稳过程，T为其周期，试求X的相关函数也是以T为周期的周期函数。

解： 是平稳过程，

E(X)m,RX(s,t)R(),(ts,st)

又RX(T)E{X(s)X(tT)}E{X(s)X(t)}RX()

RX()以T为周期.

3、设

X、Y是两个相互独立的实平稳过程，试证明Z(t)X(t)Y(t)也是平稳过程。

解

E[Z(t)]E[X(t)Y(t)]E[X(t)]E[Y(t)]mXmY

RZ(s,t)E{Z(s)Z(t)}

E{[X(s)Y(s)][X(t)Y(t)]}

E{X(s)X(t)X(s)Y(t)Y(s)X(t)Y(s)Y(t)}

RX()2mXmYRY()

Z(t)也是平稳过程

4、设是n阶均方可微的平稳过程，证明{X(n)(t),t}是平稳过程，且(2n)RX(n)()(1)nRX()

解：

E{X(n)(t)}(mX)t(n)0

2'''R(s,t)RX(s,t)[RX()]RX()

stt''st利用归纳法可得

(n)(2n)RX()(1)(n)RX()

{X(n)(t),tR}平稳过程

5、设{X(n)}是一均值为0的平稳时间序列，证明：

__________________________________________________

__________________________________________________

（1）Z(n)AX(n)BX(nm)扔是一平稳时间序列；

（2）若数列{Ak}绝对收敛，即Ak，则Z(n)kkAX(nk)扔是一平稳时间k序列；

（3）若{X(n)}是一白噪声，试求Z(n)kAX(nk)的相关函数及其谱函数。

k解（1）E[Z(n)]E{AX(n)BX(nm)}

=AE{X(n)}BE{X(nm)}

=0

RZ(s,t)E{Z(s)Z(t)}

E{[AX(s)Bx(sm)][AX(t)BX(tm)]}

E{AX(s)X(t)ABX(s)X(tm)BAX(sm)X(t)BX(sm)X(tm)}ARX(ts)ABRX(tms)BARX(tms)BRX(ts)

2222

Z(n)是一平稳时间序列

(2)

E[Z(n)]E{AkX(nk)}kkAE[X(nk)]0

kRZ(s,t)E{Ak1X(sk1)k1k2Ak2X(tk2)}

k1k2Ak1Ak2RX(tsk2k1)

Ak1(又RZ(s,t)k1k2Ak2)

Z(n)仍是一平稳时间序列

（3）RZ(s,t)RZ()k1k2Ak1Ak2RX(k2k1)

__________________________________________________

__________________________________________________

SZ()k1k2Ak1Ak2N0(k2k1)

ejRz()d

ejk1k2Ak1Ak2N0(k2k1)d

k1k2Ak1Ak2N0ej(k2k1)d

k1k2其中

Ak1Ak2N0ej(k1k2)

（注：白噪声过程X的谱密度为SX()N0(常数)，R，相关函数RX()N0()，

(x)6、设X(t)是雷达在a0,x0 ）

,x0t时的发射信号，遇目标返回接收的微弱信号是aX(n)，1，1是信号返回时间，由于接收到的信号总是伴有噪声的，记噪声为N(t)，于是接收机收到的全信号为：Y(t)X(t1)N(t)，若X、Y是平稳相关的平稳过程，试求；进而，若N(t)的均值为0，且与X(t)相互独立，试求RXY()。

解：（1）RXY()E{X(s)Y(s)}

E{X(s)[X(s1)N(s)]}

E{X(s)X(s1)X(s)N(s)}

RX(1)E{X(s)N(s)]

（2）RXY()RX(1)

7设E{X(t)X(t)}和E{X(t)X(t+)}，其中是服从区间[0,2]上均匀分布的随机变'''量，试证：

（1）{Xn,n0,1,2,}是一平稳时间序列；

__________________________________________________

__________________________________________________

（2）{X(t),t}不是平稳过程。

2解：（1）E(X12n)E(sinn)2sin(n)d102ncosn00

RX(n,m)E{Xn,Xm}E{sinnsinm}

212sinnsinmd

02

14[cos(mn)cos(nm)]d

0

sin(mn)sin(mn)24(mn)2(mn)00

{Xn}是一平稳时间序列

2（2）E[X(t)]12sintd1cot202t012t(1cos2t)

2

R1X(s,t)2sinssintd

02

14[cos(ts)cos(ts)]d

0

11224[tssin(ts)01tssin(ts)0]

14[1tssin2(ts)1tssin2(ts)]

{X(t),tR}不是平稳过程

8、设{X(t),t}为零均值的正交增量过程，EX(tX(s)2ts，试证Y(t)X(t)X(t1)是一平稳过程。

解：E{Y(t)}E{X(t)X(t1)}E{X(t)}E{X(t1)}0

RY(s,t)E{Y(t)Y(s)}

E{[X(s)X(s1)][X(t)X(t1)]}

E{X(s)X(t)}E{X(s)X(t1)}E{X(s1)X(t)}E{X(s1)X(t1)}__________________________________________________

__________________________________________________

11E{X2(s)X2(t)[X(s)X(t)]2}E{X2(s)X2(t1)[X(s)X(t1)]2}

2211E{X2(s1)X2(t)[X(s1)X(t)]2}E{X2(s1)X2(t1)[X(s1)X(t1)]2}2222221

{EX(s)X(t1)EX(s)X(t)EX(s1)X(t)EX(s1)X(t1)}

21{st12stst1}

2

Y(t)是一平稳过程。

9、设{X(t),t0}是一平稳过程，均值mX0，相关函数为RX()，若

（1）RX()ea,a0

1,1（2）RX()

0,其它1令Y(t)X(s)ds，T是固定的正数，分别计算{Y(t),t0}的相关函数。

T01解：（1）RY(s,t)E{Y(s)Y(t)}E{2TsttX(u)duX(v)dv}

001

2TsSTe00uvdudv

st11(uv)dv2due(vu)dv 当st时，RY(s,t)2dueT00T0u1s1sau(1e)du2(1ea(tu))du20aTaT011aus11a(ut)s[(ue)][2(ue)]00aT2aaTa11as1a(st)11at[2seee]aT2aaaa122[2aseaseatea(st)1]aTu

RY(s,t)1（2）RY(s,t)2T1atsasat[2amin(s,t)eee1]

22aT(1uv)dudv

00st当0t1s时

__________________________________________________

__________________________________________________

RY(s,t)v1t1t1t1sdv(1vu)dudv(1uv)dududv

T200T20vT2101tv21tu21122(vv)dv2[(1v)u]du2(s1)tT02T020Tt11112(v2v3)202TT26t0(2vv21)dv1(s1)tT2

t2t12(3t)2(t2t1)2(s1)t6T6TT当0s1t时

RY(s,t)ust1s{du(1uv)dvdu(1vu)dv}

2000uTs1su2t2u22{(u)du[u(t1)t]du}0T02221s2s3ssts3

2{()(t1)(1t)}T23226s2[s(1s)(1t)2]2T当0t1s时

RY(s,t)t122[t(1t)(1s)][t(1t)t(1s)2]

222T2T当1st时

RY(s,t)1sust1t11{dudvdu(1uv)dvdu(1vu)dvdu(1vu)dv}200101u01T

ss11t2u2t212{12udu[tu(t1)]du[(t)u(t1)]du}110T22221s2111t2s311122{1(t1)(s1)(s1)(s1)(t1)2(ts)}

T22222622111112{(s21)(1t)(s31)(st)(t1)2}T2622当1ts时

RY(s,t)1223[3(s1)(1t)3(st)3s(t1)(s1)]

26T110、设平稳过程{X(t),t0}的相关函数为RX()数。

(1)判断X是否均方可导，说明理由；

e1ea，这里0为常__________________________________________________

__________________________________________________

'(2)计算E{X(t)X'(t)}和E{X'(t)X(t+)}

1 解 （1）0limRX()RX(0)lim0e1e(1)1

lim(ee)

0

0

0limRX()RX(0)0

RX() 在

0

处可导

当0时，RX()

1e1e

'RX()ee

'R()ee

当0时，X

ee,0

R()

ee,0'X又0limR'X()R'X(0)lim0ee

lim(ee)

00lim'RX()R'X(0)RX()在0处存在二阶可导数

故X(t)在0处存在二阶可导数

由归纳可知X(t)在0处存在n阶可导.

ee,0（2）E{X(t)X(t)}R()

ee,0''ee,0

E{X(t)X(t)}R()

ee,0''''__________________________________________________

__________________________________________________

11、过程{Y(t),t(,)}的相关函数为RY()e，对满足随机微分方程X'(t)X(t)Y(t)的宽平稳过程解{X(t),t(,)}。

（1）求X的均值函数，自相关函数和功率谱函数；

（2）求X与Y 的互相关函数和互功率谱函数。

解: (1)令

Y(t)ejt，则X(t)H()Y(t)，代入X'(t)X(t)Y(t)，有

H()jejtH()ejtejtH()1h(t)2jte1

j11tde

j1mX(t)mYedt2my

2t又SX()H()SY()

Y是平稳过程



SY()RY()ejd2

21SX()又2

(1)2X平稳

1RX()[SX()]1[2(12)2]

1ee2

12e,02



1e2,02（2）SXY()H()Sx()122

221j1(1j)(1)__________________________________________________

__________________________________________________



RXY()h()RY()th(t)R(t)dteYe0tdt

当0时，RXY()

当0时，RXY()ttee0dt1ete(t)dt()e

21e

21t()e,t02

RXY()

1e,0212、设{X(t),t0}是均值为0的平稳的正态过程，且二阶均方可导。求证：对任意t0，X(t)与X'(t)相互独立，但X(t)与X''(t)不相互独立，并求RXX''(t,t)。

证:（1）由定理3.6.3（P66）知，X'(t)也是正态过程

由定理4.2.3知，X'(t)也是平稳过程

又E[X(t)]0,E{X'(t)}0

E{X(t)X(t)}{E[X(s)X(t)]}stR(ts)tsR'(0)

tt'又X(t)实平稳过程，R()为偶函数

R'()R'()，R'(0)R'(0),R'(0)0

E{X(t)X'(t)}0

则X(t),X'(t)不相关，由正态变量的性质知

X(t)与X'(t)独立

'' （2）易知{X(t),t0}也是正态平稳过程

E{X''(t)}dE{X'(t)}0

dtE{X(t)X''(t)}E{X(s)X'(t)}ttsR''(0)

又D[X'(t)]R''(0)0

''

R(0)0

__________________________________________________

__________________________________________________

X(t)与X''(t)不独立

RXX''(t,t)E{X(t)X''(t)}R''()

13、设{X(t),t0}是均方可导实平稳的正态过程，相关函数为R()，求其导数过程{X'(t),t0}的一维、二维概率密度函数。

解: 由定理3.6.3（P66）知{X'(t),t0}仍为正态过程，而且

E{X'(t)}0，E{X'(s)X'(t)}R''()

x2X(t) 的一维概率密度函数为：P(x)exp{''(0)},xR

''2R2R(0)'1X'(t)的二维概率密度函数为：P(x1,x2)1exp{XB1X'}

122B21R''(0)其中X(x1,x2),B''R()R''()

R''(0)14.已知平稳过程的相关函数

（1）RX()2ecosx,(0)

（2）RX()2e(1),(0)

（3）RX()2e[cosxsin],(0)求谱密度。

解:

SX()

j2eecosd

222ecos()cos()d0

e0[cos()cos()]d

e[()sin()cos()]02()2e[()sin()cos()]2{2()20}

__________________________________________________

__________________________________________________

2(12()21)

22()（或由cos]2(傅氏变换可得SX()[RX()][2e) ）

2()22()2（2）SX()jeRX()d



j2ee(1)d

0

e0je2(1)dj2ee(1)d

(211)

j(j)2j(j)2432

(22)2（3）SX()ejRX()d

j2ee

[cosesin]d

j2e

eje2cosdesin]d

[e

2cos]j2eesin]d

cos()esind012(22)222()()212{(2)[]}()22()22()22()22

15、已知平稳过程（参数连续）谱密度

__________________________________________________

__________________________________________________

（1）SX(),b

0,其它b2,a2a（2）SX()(a0)

0,其它k2（3）SX()22,(k,k为正数)

k1kn求相关函数和平均功率。

1R()解

X2（1）RX()2beejSX()d，平均功率RX(0)12bbSX()d

jbejd2jsinb

(ejbejb)2jsinbb

RX(0)lim

0b2jjR()[eded]

（2）X22

2b2b2(sin2sin)

b2

RX(0)lim0(sin2sin)n

1（3）RX()2n2kjnke22ek2dk2k2kK1k1

nk2ek

RX(0)lim

022k1k1kk（t）]E[Y(t)]0,RX()RY(),RXY()RXY()，16、设X、Y是两平稳相关过程，且E[X

试证Z(t)X(t)cos0tY(t)sin0t，也是平稳过程。又若X、Y的谱密度函数存在，试用X、Y的谱密度及互谱密度表出Z的谱密度。

证:

E{Z(t)}E{X(t)cos0tY(t)sin0t}

__________________________________________________

__________________________________________________

E[X(t)]cos0tE[Y(t)]sin0t

0

E{Z(s)Z(t)}E{[X(s)cos0sY(s)sin0s][[X(t)cos0tY(t)sin0t]}

E{X(s)X(t)cos0scos0tX(s)Y(t)cos0ssin0t]

E{Y(s)X(t)sin0scos0tY(s)Y(t)sin0ssin0t]

RX()cos0(ts)RXY()sin0(ts)

其中RXY()RXY()RXY()X,Y实过程

RXY()

Z(t)是平稳过程

又

SX()je[RX()cos0RXY()sin0]d



ejej0ej0RX()]d2

1j[SX(0)SX(0)][SXY(0)SXY(0)]

2217、设X(t)cos(t)，其中0为常数，是特征函数为f(t)的实随机变量，证明X为平稳过程充要条件为f(1)f(2)。

证:

f(t)E{ejt}E{cost}jE{sint}

又E{X(t)}E{cos}costE{sin}sint

RX(t,t)111E{coscos}E{cos2}cos(2t)sin(2t)E{sin2}222

）与t无关

X(t)平稳E{X(t)}常数，R（t,t+XE{cos}E{sin}0,E{cos2}E{sin2}0f(1)f(2)0

18、设X为平稳正态过程，E[X(t)]0，R()是其相关函数，试证Y(t)sgn[X(t)]是一平稳过程，且其标准相关函数为Y() 证: 易证 Y也是一平稳过程。

__________________________________________________

RY()2R()arcsin

RY(0)R(0)

__________________________________________________

RY()E{Y(t)Y(t)}P{X(t)X(t)0}P{X(t)X(t)0}对于二维正态分布X，Y，若它们均值为0，相关函数r，则有结论

P{XY0}R()11，

，P{XY0}，其中sinr，,rX2RX(0)22121222arcsinRX()

RX(0)所以

Y()()

19、设{X(t),t}是平稳过程，S()为其谱密度函数。试证：对任意的，并求h0,Y(t)X(th)X(t)是平稳过程（即平稳过程具有平稳增量）数。

证

E{Y(t)}E{X(th)X(t)}E{X(th)}E{X(t)}0

Y的谱函E{Y(t)Y(t)}E{[X(th)X(t)][X(th)X(t)]}

E{X(th)X(th)X(th)X(t)X(t)X(th)X(t)X(t)}R()R(h)R(h)R()

Y(t)是平稳过程

 又

SY()ejRY()d

jj

2eR()deR(h)dejR(h)d

2SX()ejuR(u)duj(vh)eR(v)dv

jhSX()ejhSX()

2SX()e

2SX()(1cosh)

__________________________________________________

__________________________________________________



FY()

2SX(')(1cos'h)d'

20、设{X(t),t}是均值为0，相关函数为RX()实正态平稳过程，证明X2(t)也是平稳过程，并求其均值及相关函数。

证: 令

Y(t)X2(t)RX(0)

则

22

E{Y(t)}E{X(t)RX(0)}E{X(t)}RX(0)0

（D{X(t)}RX(0)）

E{Y(t)Y(t)}E{[X2(t)RX(0)][X2(t)RX(0)]}

E{X2(t)X2(t)X2(t)RX(0)X2(t)RX(0)R2X(0)}E{X2(t)X2(t)}2E{X2(t)}RX(0)R2X(0)}

E{X2(t)}E{X2(t)}2E2{X(t)X(t)}2E{X2(t)}RX(0)R2X(0)}R2X(0)2R2X()2R2X(0))R2X(0)

2

2RX()

X(t)也是平稳过程

221.设二阶矩过程{X(t),t}的均值函数为E[X(t)]t，相关函数为R(s,t)ets，其中,,0都为常数。证明

Y(t)X(t1)X(t)是一平稳过程 ，并求其均值及相关函数。

证:

E{Y(t)}E{X(t1)X(t)}(t1)(t)

E{Y(t)Y(t)}E{[X(t1)X(t)][X(t1)X(t)]}

E{X(t1)X(t1)X(t1)X(t)X(t)X(t1)X(t)X(t)}e

e1e1e

2ee1e1__________________________________________________

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Y(t)

是一平稳过程

22、设{X(n),n0,1,2,}是白噪声序列，试证明

Y(n)1[X(n)X(n1)mX(nm1)]

是平稳时间序列，并求其相关函数及谱密度。

1m11m1证:

E{Y(n)}E{X(nk)}E{X(nk)}0

mk0mk01l11i1'

E{Y(n)Y(m)}E{[X(nk)][X(mk)]}

lk0ik01i12'

[(nm)(kk)]

lik01i12'

[(nm)(kk)]

lik0

Y(n)是平稳时间序列。

jSY()e01ji12'RY()e[(kk)]

li0k0

1i1j2e[(kk')]

lik0023、设{X(t),t}为均方连续的平稳过程，具有谱密度S()，试证 对每个并用S()表出{X(n),n0,1,2,}的谱密0,{X(n),n0,1,2,}是平稳序列，度。

证: 令t2t1，(其中t2,t1R,且t2t1)

则E{X(n)}E{X[n(t2t1)]}mX

E{X(n)X(m)}RX[(mn)]

X(n)平稳序列

mSX(m)()ejmRX(m)

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mejm12ejmS()d

1

2

mexp{j(mm)}SSX()(ejm(1))d

m0X()d

1224.设、是两个相互独立的实随机变量，E0,D1,的分布函数是F(x)，试证明：Z(t)ejt为平稳过程，且其谱函数就是F()。

证：E{Z(t)}E{ejt}E{}E{ejt}0

2jtE{Z(t)Z(t)}E{eej(t)}E{e}ejxdF(x)

j

tZ(t)为平稳过程，且RZ()ejdF()Z(t)的谱函数为2F()。

12ejd[2F()]

25.设{X(t),t}是均方可导的平稳过程，S()是其谱密度，试证：（1）Y(t)e(ts)X(s)ds,(0,常数)

 （2）Z(t)e(ts)sin(ts)X(s)ds,(0,0均为常数)

均为平稳过程，并求它们的谱密度。

证：（1）E[Y(t)]e(ts)E[X(s)]dsE{Y(t)Y(t)}E{e(ts)X(s)ds}tttmX

e(tu)X(u)du

tte(su)R(us)duds2tw1wus,vusdwe(w)R(w)dwdv2(t)w21(w)eRX(w)(2w2)dw

2e(w)RX(w)(w)dwRY()

Y(t)为平稳过程。

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-jS（RY()d

Y）=e-ej[e(u)RX(u)(u)du]d(u)exp{(u)j}RX(u)dud

uRX(u)edue(j)(u)dSY()H()SX() （其中h(t)eptU(t),U(t)为阶跃函数）

2（2）E{Z(t)}E{e(ts)tsin(ts)X(s)ds}

E{X(s)}et

1tes[sintcosscostsins]ds1E{X(s)}2常数2

R（s,t）=Zs--te(st)euv1sin(su)sin(tv)RX(vu)dudv

220sin0t又Z()存在谱函数，可知h(t)et0U(t),H()1

02(aj)2

SY()SX()

2(a202)24a2226.设Y是均方二次可导的平稳过程，X是均方连续的平稳过程，且满足：2Y''(t)Y'(t)0Y(t)X(t)，试用X的谱函数表示Y的谱函数及X与Y的互谱函数。

解：（1）取X(t)ejt,Y(t)H()ejt，并代入上式得

[(j)2(j)0]H()1

H()1

(j)2(j)0H()21

22222(0)2SY()H()SX()SX()

22(202)2__________________________________________________

__________________________________________________

dFX(')FY()SY()d2'2d'

'222(0)''（2）SXY()H()SX()SX()

22j0

FXY()SXY(u)dudFX()

22j027.已知如图所示的系统，其输入X为一零均值的平稳正态过程，通过实验测得Z的功率谱密度为

SZ()()2

(22)(21)22(0)2RX()； 试证Y也为平稳的，且RY()RX利用（1）的结论分别求X和Y的自相关函数与功率谱密度。

X(t)()2h(t)etU(t)Z(t)

证 （1）类似第20题

E{Y(t)}E{X2(t)}RX(0)

E{Y(t)Y(t)}E{X(t)X(t)}

E{X(t)}E{X(t)}2E{X(t)X(t)}

22RX(0)2RX()

22222（2）h(t)etu(t)

ttjteedt0

H()eu(t)dt1

1j

SY()SZ()H()2[()2]222()(1)2(12)1

(1)()

2

22__________________________________________________