2024年4月12日发(作者：)
（五）证明题
1.证明在定态中，几率流密度矢量与时间无关。
证明：几率流密度公式为：
i
J
(
),
2
而定态波函数的一般形式为：
i
Et
(
r
,
t
)(
r
)
e
将此式代入上式得：
i
J
0
。
J
[
(r)
(r)
(r)
(r)]
，所以
t
2
2.证明厄密算符的本征值为实数。
ˆ
为厄米算符，则证明
为实数。
ˆ
F
证明：若
F
ˆˆ
由厄米算符定义，令
，
F
(
F
)
d
，
2
左=
d
d
，右＝
d
d
，
2
(
)
d
0
，
d
0
,
,
为实数。
2
2
和动量算符
p
x
为厄密算符。 3.证明坐标算符
x
ˆ
x
，
ˆ
是厄密算符。
ˆ
dx
(
x
)
*
dx
，
xx
证明：则由厄密算符的定义得
*
x
ˆ
x
i
因为
p
，
x
d
d
dx
i
dx
dx
dx
d
d
i
(
)
dx
(
i
)
dx
dx
dx
d
ˆ
x
)
dx
(
i
)
dx
(p
dx
ˆ
x
是厄米算符
p
ˆ
x
dx
i
p
4.证明对于非简并情况，厄密算符属于不同本征值的本征函数相互正交。
ˆ
的本征值非简并，取其中的任意的两个本征值和本征函数：证明：设厄米算符
A
ˆ
a
，
A
ˆ
a
，
和
， 有
A
m
n
mmmnnn
按厄米算符的定义，有
m
ˆ
d
(
A
ˆ
)
*
d
，
A
nnm
而上式的左端
a
n
m
n
d
，右边
a
m
n
m
d
，
所以
(
a
n
a
m
)
m
n
d
0
，
a
n
a
m
。
故
m
n
d
0
，这就是厄米算符本征函数的正交性的数学表达。
如果
mn
，而
m
n
d
1
归一。
则
m
n
d
mn
。这就是厄米算符本征函数的正交、归一性。
的本征函数系
{
(x)}
具有完全性，有一归一化的波函数5.已知力学量算符
F
n
(x)
c
n
n
(x)
,证明
c
n
1
。
n
2
n
证明：
1
x
x
dx
c
m
c
n
m
x
n
x
dx
c
m
c
n
mn
mn
mn
|c
n
|
2
。 此题得证。
n
在归一化波函数
(x)
中的平均值为
(x)
(x)
，则算符
F
6.已知
F
nnn
(x)dx
c
2
，其中
(x)dx
，证明
F
*
(x)F
F
*
(x)F
nn
n
c
n
n
(x)
(x)dx
。
ˆ
x
dx
c
c
x
F
证明：
F
x
F
mn
m
ˆ
n
x
dx
mn
mnmn
n
*
c
m
c
n
n
m
x
n
x
dx
c
m
c
n
n
mn
n
|c
n
|
2
。
此题得证。
x
,f(x)]
i
f'(x)
，其中
f(x)
为
x
的任一函数。 7.证明
[p
证明：假设有任意的波函数
(x)
ˆ
x
f(x)
(x)f(x)p
ˆ
x
(x)
ˆ
x
,f(x)][p
(x)
p
dd
[
f
(
x
)
(
x
)
f
(
x
)
(x)]
idxdx
df(x)dd
(x)
(x)
f(x)
(x)
f(x)
]
[
idxdxdx
df(x)
(
x
)
，
idx
df(x)
ˆ
x
,f(x)]
i
f
(x)
。 因为
(x)
为任意的波函数，所以
[p
idx
8.证明如果两个算符有完全的共同本征函数系，则这两个算符必对易。
ˆ
有一组共同的本征函数系
{
(x)}
，
ˆ
,
G
证明：设
F
n
ˆ
(
x
)
(
x
)
，
n1,2,3，
ˆ
(x)
(x)
，
G
所以
F
nnnnnn
ˆ
G
ˆ
F
ˆ
G
ˆ
F
ˆ
ˆ
G
ˆ
)
F
ˆ
G
ˆ
F
ˆ
(F
nnnn
n
n
G
n
n
n
n
n
n
n
0
。
设有一任意波函数
(x)
，
(x)
C
n
n
(x)
，
n
ˆ
]
(
x
)
(F
ˆ
G
ˆ
F
ˆ
,G
ˆ
G
ˆ
)
[F
C
n
n
n
ˆ
G
ˆ
F
ˆ
G
ˆ
)
(x)0
。
(x)
C
n
(F
n
n
ˆ
]0
，即此两算符对易。
ˆ
,G
由
(x)
的任意性，所以
[F
9.证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球坐标中的分量是
J
er
J
e
0
，
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