2024年3月17日发(作者：)
(完整word版)用几何画板画双曲线
用几何画板画双曲线
一．双曲线的定义：
1．在平面内，到两个定点
F
1
、
F
2
的距
常数（小于|
F
1
F
2
|）的点的轨迹叫做双曲线.
线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2．双曲线的标准方程:
设
M
（
x
,
y
）是双曲线是上任意一点，
0）,则如图建立直角坐标系,又
F
1
、
F
2
的坐
F
2
(
c
, 0），若
M
点与
F
1
、
F
2
两点的距离的
a
〉0），则 ｜|
MF
1
｜－｜
MF
2
||＝2
a
,
∴
(xc)
2
y
2
(xc)
2
y
2
2a
222
y
M
F
1
O
x
F
2
离的差的绝对值等于
这两个定点叫做双曲
双曲线的焦距为2
c
(
c
〉
标分别是
F
1
（－
c
, 0),
差的绝对值等于2
a
（
c
〉
,
y
图10－1
整理化简，并且设
b
＝
c
－
a
得双曲线的标准方程
D
x
2
y
2
M
1
。
a
2
b
2
3．双曲线的第二定义：
x
设动点
M
（
x
,
y
）与定点
F
（
c
， 0)的距离和它到定直线
l
：
F
1
O
F
2
a
2
c
x
＝的距离的比是常数(
c
〉
a
〉0）,则点
M
的轨迹是双曲线.
c
a
点
F
是双曲线的一个焦点，直线
l
是双曲线中对应于焦点
F
的准
c
线。常数
e
＝ (
e
>1)是双曲线的离心率。 图10－2
a
4．双曲线的参数方程：
以原点为圆心，分别以
a
、
b
（
a
，
b
〉0）为半径作两个
圆,|
OA
｜＝
a
， ｜
OB
｜＝
b
, 点
P
是以
a
为半径的圆上的一个
y
点,点
C
是
OA
与半径为
bd
圆的交点，过点
C
作
CN
⊥
Ox
,交直
线
OP
于
N
，过点
N
作
OX
轴的平行线，过点
P
作
PR
⊥
OP
,交
Ox
轴于
R
，过点
R
作直线
RM
交过点
N
的
x
轴的平行线于点
M
，当
P
B
点
P
在圆上运动时，
M
点的轨迹是双曲线。
M
N
设点
M
的坐标是（
x
，
y
),φ是以
Ox
为始边，
OP
为终边
x
O
C
A
R
的正角，取φ为参数，那么
x
＝|
OR
|＝｜
OP
|se
c
φ＝
a
se
c
φ,
图10－3
bt
gφ，
y
＝｜
RM
｜＝|
CN
|＝｜
OC
|
t
gφ＝
∴ 双曲线的参数方程是
二．双曲线的画法：
xasec
ybtg
（φ是参数）.
50
(完整word版)用几何画板画双曲线
画法1:
A
2a
B
C
y
P
1
F
1
O
P
2
P
3
F
2
P
4
x
图10－4
1．在
x
轴上取两点
F
1
、
F
2
，使|
OF
1
｜＝｜
OF
2
|，用它们作为两个焦点；
2．在图形外作一条线段
AB
，使|
AB
｜＝2
a
，（|
AB
|<｜
F
1
F
2
｜)；
3．以
O
为中心，在
x
轴上取两点
A
1
、
A
2
,使|
A
1
A
2
｜＝｜
AB
|；
4．在
AB
延长线上分别取
C
',使｜
BC
'｜＝|
A
1
F
1
|；在
ABC
'的延长线方向上作射线
C
'
C
，并用“作图”菜
单中的“对象上的点”功能在
C
'
C
上作点
C
;
5．分别以
F
1
、
F
2
为圆心，用｜
BC
｜、｜
AC
｜为半径作圆，两圆相交于
P
1
、
P
2
两点；同样方法分别以
F
1
、
F
2
为圆心，用|
AC
｜、|
BC
|为半径作圆，两圆相交于
P
3
、
P
4
两点；并将这四个点定义为“追踪点"；
6．依次选中点
C
、点
P
1
（或点
C
、点
P
2
, 或点
C
、点
P
3
, 或点
C
、点
P
3
），用“作图”菜单中的“轨
迹”功能,作出双曲线。
理论根据：点
P
1
是两圆的交点，∴ 点
P
1
到
F
1
与
F
2
的距离的差等于两圆的半径的差,
即 ｜|
PF
1
｜－|
PF
2
｜|＝｜
AC
|－｜
BC
｜＝｜
AB
|＝2
a
。
说明：点
C
不要直接在
BC
上取，那样画出来的双曲线将在
x
轴附近断开一段，因为计算机画的曲线实际
上是由若干条小线段形成的,这些线段的端点是由符合条件的若干个点中随机选取的，当我们使点
C
在
BC
上
运动时，当点
C
非常接近点
B
时，两圆没有交点,于是画出来的图形就不好看了。
画法2：
1．在
x
轴上取两点
F
1
、
F
2
，使|
OF
1
｜＝｜
OF
2
|，用它们作为两个焦点；
2．在图形外作一条线段，使它的长度为2
a
，（2
a
<|
F
1
F
2
｜）；
51
(完整word版)用几何画板画双曲线
2a
y
P
F
1
O
F
2
M
x
图10－5
3．以
F
1
为圆心，2
a
为半径作圆，在圆上任取一点
P
;
4．连接
PF
1
、
PF
2
，作
PF
2
的中垂线与直线
PF
1
交于点
M
，连接
MF
2
；
5．将点
M
定义为“追踪点”,分别选中点
M
、点
P
，用“作图”菜单中的“轨迹”功能画出双曲线。
理论根据：
点
M
在
PF
2
的中垂线上,∴ ｜
MP
｜＝｜
MF
2
|, ∴ |
MF
1
｜－｜
MF
2
｜＝|
MF
1
｜－|
MP
|＝|
F
1
P
|＝2
a
. 即点
M
到
两个定点
F
1
和
F
2
的距离的差等于定长2
a
。点
M
的轨迹是一个双曲线.
画法3：1．在平面直角坐标系中取点
F
1
、
F
2
，使｜
OF
1
|＝｜
OF
2
｜，把它们作为焦点，在
OF
1
上取一点
A
1
，
使它作为双曲线的顶点;
2．度量
OF
1
、
OA
1
,把它们的长分别作为
c
和
a
，使
a
〈
c
;
a
2
a
2
3．计算
c
，在
Ox
轴上取一点
N
，使｜
ON
｜＝
c
,过点
N
作
Ox
轴的垂线作为双曲线的准线；
cc
4．选中
Ox
轴,用“作图”菜单中的“对象上的点”功能，取动点
P
;
cc
5．计算
e
＝，并度量｜
NP
｜的长，计算|
NP
|×；
aa
c
6．以点
F
2
为圆心,｜
NP
|×为半径作圆，此圆与过点
P
且垂直于
Ox
轴的直线相交于
M
1
，
M
2
两点;
a
7．分别选中点
M
1
和点
P
(或点
M
2
和点)，用“作图"菜单中的“轨迹”功能，画出双曲线。
图10－6
理论根据:
y
l
D
a=1.283 cm
c=2.062 cm
M
1
x
c
e=
a
=1.607
a
2
=0.798 cm
c
F
1
A
1
O
N
F
2
P
M
2
52
(完整word版)用几何画板画双曲线
点
M
1
到点
F
2
的距离是|
NP
|×
∴
c
，点
M
1
到准线
l
的距离|
M
1
D
|＝｜
NP
｜，
a
点M
1
到F
2
的距离
c
＝＝
e
. ∴ 点
M
1
在双曲线上。
点M
1
到直线l的距离
a
画法4:
1．以坐标原点
O
为圆心，分别以
a
、
b
(
a
，
b
>0)为半径画两个圆；
2．圆
OA
与
x
轴的正方向交于点
C
,过
3．在圆
OA
上取一点
P
，连接
OP
,直线
轴垂直的直线交于点
N
，过点
N
作
x
轴的
4．过点
P
作
PR
垂直于
OP
，交
x
轴于
5．过点
R
在
x
轴的垂线交直线
NM
于
6．分别选中点
M
和点
P
,用“作图”
能，画出双曲线。
理论根据：
设∠
xOP
＝φ,
则｜
OR
|＝｜
OP
｜se
c
φ＝
a
se
c
φ,
|
OC
｜
t
gφ＝
bt
gφ, 根据双曲线的参数方
一个双曲线。
y
B
P
N
M
O
C
A
R
x
图10－7
C
作
x
轴的垂线,
OP
与过点
C
且和
x
平行线
NM
；
点
R
；
点
M
;
菜单中的“轨迹”功
|
RM
｜＝|
NC
｜＝
程知，点
M
的轨迹是
53
(完整word版)用几何画板画双曲线
三．双曲线中动弦的画法
（一）．双曲线焦点弦的画法:
2a
y
F
1
N
Q
P
O
M
F
2
x
图10－8
1．在坐标系中作出两个焦点
F
1
、
F
2
，在图形外作一条线段,使它的长等于2
a
（2
a
〈｜
F
1
F
2
｜）；
2．以
F
1
为圆心，2
a
为半径作圆,在圆上任取一点
P
，连接
PF
2
,作
PF
2
的中垂线交直线
PF
1
于点
M
；选中点
M
和点
P
，用“轨迹"功能作出双曲线；
3．连接
PF
1
延长与圆交于点
Q
；
4．同样方法作出点
Q
在双曲线上的对应点
N
；
5．连接
MN
，则线段
MN
一定过焦点
F
1
，且点
M
、
N
都在双曲线上;
6．保留坐标系、双曲线、焦点和焦点弦
MN
，隐藏其它的内容，这时选中点
M
,在双曲线上拖动它,则点
N
相应在双曲线上移动,且
MN
始终经过点
F
1
。
理论根据:
双曲线上的点
M
、
N
是由圆上的点
P
、
Q
得到的，线段
PQ
在大圆上经过定点
F
1
，则相应的线段
MN
在双曲
线上也经过定点
F
1
。
（二） 双曲线中过定点
M
的弦：
M
R
D'
O
N
Q
S
D
E
P
图10－9
1．用参数方程的画法画出一个双曲线，标出定点
D
；
2．在以
a
为半径的圆上取一点
M
，作出它在双曲线上的相应点
P
;
3．作
DE
⊥
Ox
轴,垂足是
E
,过点
E
作以
a
为半径的圆的切线
ER
、
ES
,连接
RS
；
4．过点
D
作
RS
的垂线，垂足是
D
’；
54
(完整word版)用几何画板画双曲线
5．连接
MS
’,延长与圆交于
N
，作出点
N
在双曲线上的对应点
Q
;
6．连接
PQ
，则
PQ
始终经过点
D
，且
P
、
Q
都在双曲线上；
7．保留坐标系、双曲线、定点
D
和过定点
D
的弦
PQ
，隐藏其它的内容，这时选中点
P
，在双曲线上拖动
它，则点
Q
相应在双曲线上移动，且
PQ
始终经过点
D
;。
理论根据:
双曲线上的点
P
、
Q
是由大圆上的点
M
、
N
得到的，线段
MN
在大圆上经过定点
D
',则相应的线段
PQ
在双
曲线上也经过定点
MD
.问题的关键是怎样由点
D
得到点
D
'，我们看到，点
D
和点
D
'的纵坐标是一样的，另外
在双曲线中过点
D
且垂直于
x
的弦的两个端点在圆上的对应点恰好是
R
、
S
，所以点
D
'。一定在
RS
上,这样
就得到了点
D
’。
(三) 双曲线中平行弦的画法：
y
a=2.694 cm
b=1.912 cm
k=2.356
b
2
= 0.214
(ka)
2
P
M
O
Q
k
N
x
图10－10
1．用参数方程的画法画出一条双曲线,计算两圆半径的比
a
，
b
，在双曲线上取一点
P
；
2．在图形外画一条斜率为k的线段,过点
P
作斜率为k的线段的平行线；
b
2
3．选中
a
，
b
, k， 用“计算”算出
2
的值；
ka
b
2
4．过原点
O
作斜率为
2
的直线，与过点
P
斜率为k的直线相交于点
M
；
ka
5．以点
M
为中心，将点
P
旋转180°，得到点
Q
,则点
Q
在双曲线上；
6．连接
PQ
，则
PQ
就是斜率为k的双曲线中的平行弦；
7．保留坐标系、双曲线、斜率k和
PQ
，隐藏其它的内容；选中点
P
在双曲线上拖动点
P
，则弦
PQ
始终
与
AC
平行,且点
P
、
Q
在双曲线上；
8．作
PQ
的中点，标记为“追踪点”，则点
P
运动时,就可以得到中点的轨迹。
理论根据：
x
2
y
2
设
P
（
x
1
,
y
1
)，
Q
(
x
2
，
y
2
)都在双曲线
2
2
1
上，且
PQ
的斜率为k，若
PQ
的中点为
M
(
x
0
，
y
0
）, 有
ab
2222
x
1
y
1
x
2
y
2
(x
1
x
2
)(x
1
x
2
)(y
1
y
2
)(y
1
y
2
)
11
，，两式相减得。
2222
22
abab
ab
(x
1
x
2
)b
2
y
0
b
2
b
2
2
, ∴ 中点
M
在过原点且斜率为
2
的直线上。
∴＝
2
x
0
(y
1
y
2
)aka
ka
四．双曲线切线的画法：
（一） 过双曲线上一个定点
P
的切线：
55
(完整word版)用几何画板画双曲线
1．在直角坐标系中画一条双曲线，同时标出它的两个焦点
F
1
、
F
2
；
2．在双曲线上标出定点
P
；
y
M
F
1
O
F
2
P
x
图10－11
3．以
F
1
为圆心，双曲线的实轴2
a
为半径作圆;
4．连接
F
1
P
交圆于点
M
；
5．连接
F
2
M
，作
F
2
M
的中垂线，这条中垂线过点
P
，并且是双曲线的切线。
理论根据:
∵ 点
P
在双曲线上，
∴ ｜｜
PF
1
|－｜
PF
2
||＝2
a
,
又|
F
1
M
｜＝2
a
，∴ |
PF
2
|＝｜
MP
｜，
点
P
在
F
2
M
的中垂线上，直线
MP
经过点
M
且与双曲线有且仅有一个交点,所以直线
MP
是双曲线过点
P
的
切线.
（二） 过双曲线外一点作双曲线的切线:
1．在直角坐标系中画一条双曲线，同时标出它的两个焦点
F
1
、
F
2
；
2．在双曲线外标出定点
T
；
3．以点
F
1
为圆心,双曲线的实轴2
a
为半
4．以点
T
为圆心，｜
TF
2
|为半径作圆，
y
M
5．连接
MF
2
，作
MF
2
的中垂线
TCP
，同样
垂线
TDQ
;
T
6．直线
TCP
、
TDQ
都是过点
T
的椭圆的
C
理论根据：
x
D
O
点
M
、
N
在以点
T
为圆心，｜
TF
2
｜为半径
F
1
N
Q
F
2
|
TM
|＝|
TN
｜，
MF
2
的中垂线一定经过定点
T
，
P
一点
P
，满足｜|
PF
1
|－|
PF
2
｜|＝｜|
PF
1
|－｜
图10－12
曲线上，∴
PT
是双曲线的切线且
PT
经过点
的切线且
QT
经过点
T
。
径作圆;
交圆
F
1
于点
M
、
N
;
连接
NF
2
,作
NF
2
的中
切线。
作圆上，∴ |
TF
2
|＝
且中垂线上一定有
PM
||＝2a, 点
P
在双
T
;同理
QT
也是椭圆
56
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