2024年1月14日发(作者：)

2020-2021学年浙江省宁波市江北区九年级第一学期期末数学试卷

一、选择题（共10小题）.

1．若3a＝2b，则的值为（ ）

A．

B．

C．

D．

2．下列是有关防疫的图片，其中是中心对称图形的是（ ）

A．

B．

C．

D．

3．如图所示的几何体的主视图为（ ）

A．

B．

C．

D．

4．九年级（1）班与九年级（2）班准备举行拔河比赛，根据双方的实力，小明预测：“九年级（1）班获胜的可能性是80%”下列四句话能正确反映其观点的是（ ）

A．九年级（2）班肯定会输掉这场比赛

B．九年级（1）班肯定会赢得这场比赛

C．若进行10场比赛，九年级（1）班定会赢得8次

D．九年级（2）班也有可能会赢得这场比赛

5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则tanB的值是（ ）

A．

B．

C．

D．

6．已知△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数是（ ）

A．40°

B．45°

C．50°

D．55°

7．

已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表所示，下列说法正确的是（ ）x

y

A．a＞0

B．x＞1时y随x的增大而减小

C．y的最大值是3

D．关于x的方程ax2+bx+c＝3的解是x1＝1，x2＝2

8．如图，在▱ABCD中，点O是对角线BD上的一点，且，连接CO并延长交AD于…

…

0

1

1

3

3

1

…

…

点E，若△COD的面积是2，则四边形ABOE的面积是（ ）

A．3

B．4

C．5

D．6

9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，⊙O的半径为2，圆心在AB边上运动，当⊙O与△ABC的边恰有4个交点时，OA的取值范围是（ ）

A．7.5＜OA＜8

C．＜OA＜7.5

B．7.5＜OA＜8或2＜OA＜5

D．7.5＜OA＜8或2＜OA＜

10．如图，已知⊙O的半径为3，弦CD＝4，A为⊙O上一动点（点A与点C、D不重合），连接AO并延长交CD于点E，交⊙O于点B，P为CD上一点，当∠APB＝120°时，则

AP•BP的最大值为（ ）

A．4

B．6

C．8

D．12

二、填空题（共6小题）.

11．对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下：

抽取只数（只）

合格频率

0.82

0.83

0.82

0.83

0.84

0.84

0.84

0.84

50

100

150

500

1000

2000

10000

50000

估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为

．

12．已知圆锥的高为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为

cm2．

13．二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是

．

14．如图，A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O切于点B，C．点P是上任意一点（点P与点B，C不重合），过点P作⊙O的切线，交AB于点M，交AC于点N．若AO＝13，BO＝5，则△AMN的周长为

．

15．如图，有一圆形木制艺术品，记为⊙O，其半径为12cm，在距离圆心8cm的点A处发生虫蛀，现需沿过点A的直线PQ将圆形艺术品裁掉一部分，然后用美化材料沿PQ进行粘贴，则美化材料（即弦PQ的长）最少需要

cm．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E在BC上，结AD，AE．记CD＝a，DE＝EB＝b，图中所有三角形中，若恰好存在两对相似三角形，则＝

．

三、解答题（共8小题）.

17．计算：20210+|﹣|﹣2sin60°．

18．如图，将一个直角三角形形状的楔子（Rt△ABC）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子底面的倾斜角为10°，其高度AC为1.8cm，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度HC为3cm，那么木cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，

桩上升了多少厘米？（sin10°≈0.17，结果精确到0.1cm）

19．为进一步普及新冠病毒防疫知识，我区某校举行了“病毒防疫”知识问答测试，随机抽取一部分学生的成绩，将成绩绘制成统计图表：

“病毒防疫”知识问答测试成绩频数分布统计表

级别

A

频数

成绩（分）95＜x≤100

B

90＜x≤18

22

95

C

85＜x≤90

D

80＜x≤85

（1）本次共随机抽取了

名学生，在频数分布统计表中，成绩是C级的频数是

；

（2）在扇形统计图中，成绩是B级的圆心角的度数是多少？

（3）学校将从获得A级成绩里最好的4名学生中，任选2名参加“病毒防疫”宣讲，其中小江、小北恰在这4名选手中，请用列表法或画树状图法，求小江、小北两人同时被选中的概率．

3

20．图1是由六个全等且边长为2的小正五边形，以及五个全等且顶角为36°、腰长为2的等腰三角形镶嵌而成的一个大正五边形，正五边形和等腰三角形的顶点称为格点，连接格点而成的三角形称为格点三角形．在图2的三个图中，分别画出一个与图中已知△ABC相似但不全等的格点三角形，并注明三角形的顶点字母．

21．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中A（﹣2，0），B（4，0）．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）根据图象，直接写出y＞0时，x的取值范围；

（3）若要使抛物线与x轴只有一个交点，则需将抛物线向下平移几个单位？

22．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OE⊥AB交AC于点E，在OE的延长线上取点D，使得DE＝DC．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AC＝2，BC＝，求CD的长．

23．扶贫工作小组对果农精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果推广进市场．某水果店从果农处直接批发这种水果，批发价格为每千克24元，当每千克的销售价格定为32元时，每天可售出80千克，根据市场行情，若每千克的销售价格降低0.5元，则每天可多售出10千克（销售单价不低于批发价）现决定降价销售，设这种水果每千克的销售价格为x元，每天的销售量为y千克．

（1）求每天的销售量y千克与销售单价x元之间的函数关系式以及x的取值范围；

（2）当销售单价为多少元时，这种水果每天的销售利润最大，最大利润为多少元？

24．如图1，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，D，E分别是别交AC，BC于点F，G．

（1）求证：△DFC∽△CGE；

，的中点，连接DE分

（2）若DF＝3，tan∠GCE＝，求FG的长；

（3）如图2，连接AD，BE，若＝x，＝y，求y关于x的函数表达式．

参考答案

一、选择题（共10小题）.

1．若3a＝2b，则的值为（ ）

A．

解：∵3a＝2b，

∴＝．

故选：C．

2．下列是有关防疫的图片，其中是中心对称图形的是（ ）

B．

C．

D．

A．

B．

C．

D．

解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；

B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．

故选：A．

3．如图所示的几何体的主视图为（ ）

A．

B．

C．

D．

解：从正面看所得的图形为故选：C．

，

4．九年级（1）班与九年级（2）班准备举行拔河比赛，根据双方的实力，小明预测：“九

年级（1）班获胜的可能性是80%”下列四句话能正确反映其观点的是（ ）

A．九年级（2）班肯定会输掉这场比赛

B．九年级（1）班肯定会赢得这场比赛

C．若进行10场比赛，九年级（1）班定会赢得8次

D．九年级（2）班也有可能会赢得这场比赛

解：∵小明预测：“九年级（1）班获胜的可能性是80%”只能说明九年级（1）班获胜的可能性很大，

∴九年级（2）班也有可能会赢得这场比赛，

故选：D．

5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则tanB的值是（ ）

A．

B．

C．

D．

解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，

∴AC＝则tanB＝故选：A．

＝6，

＝＝．

6．已知△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数是（ ）

A．40°

B．45°

C．50°

D．55°

解：如图，连接OB，

∵∠C＝50°，

∴∠AOB＝2∠C＝100°，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA＝40°，

则∠BAD的度数是40°．

故选：A．

7．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表所示，下列说法正确的是（x …

0

1

3 …

y …

1

3

1 …

A．a＞0

B．x＞1时y随x的增大而减小

C．y的最大值是3

D．关于x的方程ax2+bx+c＝3的解是x1＝1，x2＝2

解：∵二次函数值先由小变大，再由大变小，

∴抛物线的开口向下，a＜0，故A错误；

∵抛物线过点（0，1）和（3，1），

∴抛物线的对称轴为直线x＝，

∴x＝对应的y的值最大，故C错误；

∵抛物线开口向下，

∴x＞时y随x的增大而减小，故B错误；

∵抛物线的对称轴为直线x＝，且抛物线经过点（1，3），

∴点（1，3）关于对称轴的对称点为（2，3），

∴关于x的方程ax2+bx+c＝3的解是x1＝1，x2＝2，故D正确；

故选：D．

）

8．如图，在▱ABCD中，点O是对角线BD上的一点，且，连接CO并延长交AD于点E，若△COD的面积是2，则四边形ABOE的面积是（ ）

A．3

解：∵B．4

，△COD的面积是2，

C．5

D．6

∴△BOC的面积为4，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，S△ABD＝S△BCD＝2+4＝6，

∴△DOE∽△BOC，

∴＝（）2＝，

∴S△DOE＝1，

∴四边形ABOE的面积＝6﹣1＝5，

故选：C．

9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，⊙O的半径为2，圆心在AB边上运动，当⊙O与△ABC的边恰有4个交点时，OA的取值范围是（ ）

A．7.5＜OA＜8

C．＜OA＜7.5

B．7.5＜OA＜8或2＜OA＜5

D．7.5＜OA＜8或2＜OA＜

解：∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，

∴AB＝＝＝10，

如图1，当⊙O过点A时，此时⊙O与△ABC的边恰有3个交点，此时OA＝2，当⊙O'

过点B时，此时⊙O'与△ABC的边恰有3个交点，此时O'B＝2，则O'A＝8；

如图2，当⊙O与AC相切于点E时，此时⊙O与△ABC的边恰有3个交点，

连接OE，

∴OE⊥AC，

∴∠AEO＝∠ACB＝90°，

又∵∠A＝∠A，

∴△AEO∽△ACB，

∴∴∴AO＝，

，

，

当⊙O'与BC相切于点F时，此时⊙O'与△ABC的边恰有3个交点，

同理可求O'B＝2.5，

∴O'A＝7.5，

∴当⊙O与△ABC的边恰有4个交点时，OA的取值范围为7.5＜OA＜8或2＜OA＜故选：D．

．10．如图，已知⊙O的半径为3，弦CD＝4，A为⊙O上一动点（点A与点C、D不重合），连接AO并延长交CD于点E，交⊙O于点B，P为CD上一点，当∠APB＝120°时，则AP•BP的最大值为（ ）

A．4

B．6

C．8

D．12

解：延长AP交⊙O于T，连接BT．设PC＝x．

∵AB是直径，

∴∠ATB＝90°，

∵∠APB＝120°，

∴∠BPT＝60°，

∴PT＝PB•cos60°＝PB，

∵PA•PB＝2PA•PT＝2PC•PD＝2x•（4﹣x）＝﹣2（x﹣2）2+8，

∵﹣2＜0，

∴x＝2时，PA•PB的最大值为8，

故选：C．

二、填空题（每小题5分，共30分）

11．对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下：

抽取只数50

100

150

500

1000

2000

10000

（只）

合格频率

0.82

0.83

0.82

0.83

0.84

0.84

0.84

估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为

0.84 ．

解：∵随着抽样的增大，合格的频率趋近于0.84，

50000

0.84

∴估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为0.84．

故答案为：0.84．

12．已知圆锥的高为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为

15π

cm2．

解：根据题意，圆锥的底面圆的半径＝＝3（cm），

所以圆锥的侧面积＝×2π×3×5＝15π（cm2）．

故答案为15π．

13．二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是 （1，3） ．

解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+3，

∴该函数图象的顶点坐标为（1，3），

故答案为：（1，3）．

14．如图，A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O切于点B，C．点P是上任意一点（点P与点B，C不重合），过点P作⊙O的切线，交AB于点M，交AC于点N．若AO＝13，BO＝5，则△AMN的周长为

24 ．

解：∵AB，AC分别与⊙O切于点B，C，

∴AB＝AC，OB⊥AB，

在Rt△AOB中，AB＝∵MN与⊙O相切于P，

∴MB＝MP，NC＝NP，

∴△AMN的周长＝AM+MN+AN

＝AM+MP+NP+AN

＝AM+BM+NC+AN

＝AB+AC

＝2AB

＝＝12，

＝2×12

＝24．

故答案为24．

15．如图，有一圆形木制艺术品，记为⊙O，其半径为12cm，在距离圆心8cm的点A处发生虫蛀，现需沿过点A的直线PQ将圆形艺术品裁掉一部分，然后用美化材料沿PQ进行粘贴，则美化材料（即弦PQ的长）最少需要

8

cm．

解：如图，连接OA，过点A作弦P′Q′⊥OA，连接OQ′，此时P′Q′的值最小．

在Rt△OAQ′中，AQ′＝∵OA⊥P′Q′，

∴AQ′＝AP′，

∴P′Q′＝2AQ′＝8故答案为：8．

（cm），

＝＝4（cm），

16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E在BC上，结AD，AE．记CD＝a，DE＝EB＝b，图中所有三角形中，若恰好存在两对相似三角形，则＝ 或 ．

解：∵恰好存在两对相似三角形，

∴其中一对一定为△ADE∽△BDA，

∴，

∴AD2＝DE•BD＝b•2b＝2b2，

第二对：①若△ACD∽△BCA，

∴，

∴AC2＝CD•CB＝a（a+2b），

∵a2+AC2＝AD2，

∴a2+a2+2ab＝2b2，

即a2+2b﹣b2＝0，

两边同除以b2，可得：令m＝＞0，

∴m2+m﹣1＝0，

解得：∴，

（舍去），

，

②若△ACD∽△ECA，

∴，

∴AC2＝CE•CD＝a（a+b），

∴AC2+a2＝AD2，

∴a2+ab+a2＝2b2，

∴，

，

两边同除以b2，可得：

令n＝∴，

，

解得：（舍去），

∴，

综上所述，的值为或．

故答案为：或．

三、解答题（本题有8小题，共80分

17．计算：20210+|﹣解：原式＝1+＝1+＝1．

18．如图，将一个直角三角形形状的楔子（Rt△ABC）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子底面的倾斜角为10°，其高度AC为1.8cm，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度HC为3cm，那么木cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，

桩上升了多少厘米？（sin10°≈0.17，结果精确到0.1cm）﹣

|﹣2sin60°．

﹣2×

解：在Rt△ABC中，∠ABC＝10°，tan∠ABC＝则BC＝≈＝10（cm），

，

∴BH＝BC﹣HC＝7（cm），

在Rt△ABC中，∠ABC＝10°，tan∠ABC＝，

则PH＝BH×tan∠ABC≈7×0.18≈1.3（cm），

答：木桩上升了大约1.3厘米

19．为进一步普及新冠病毒防疫知识，我区某校举行了“病毒防疫”知识问答测试，随机抽取一部分学生的成绩，将成绩绘制成统计图表：

“病毒防疫”知识问答测试成绩频数分布统计表

级别

A

频数

成绩（分）95＜x≤100

B

90＜x≤95

C

85＜x≤90

D

80＜x≤85

（1）本次共随机抽取了

50 名学生，在频数分布统计表中，成绩是C级的频数是

7 ；（2）在扇形统计图中，成绩是B级的圆心角的度数是多少？

（3）学校将从获得A级成绩里最好的4名学生中，任选2名参加“病毒防疫”宣讲，其中小江、小北恰在这4名选手中，请用列表法或画树状图法，求小江、小北两人同时被选中的概率．

3

18

22

解：（1）本次共随机抽取了学生的人数为：3÷6%＝50（名），成绩是C级的频数是50﹣22﹣18﹣3＝7，

故答案为：50，7；

（2）在扇形统计图中，成绩是B级的圆心角的度数为：360°×＝129.6°；

（3）把小江、小北分别记为A、B，其他2名学生记为C、D，画树状图如图：

共有12个等可能的结果，小江、小北两人同时被选中的结果有2个，

∴小江、小北两人同时被选中的概率为＝．

20．图1是由六个全等且边长为2的小正五边形，以及五个全等且顶角为36°、腰长为2的等腰三角形镶嵌而成的一个大正五边形，正五边形和等腰三角形的顶点称为格点，连接格点而成的三角形称为格点三角形．在图2的三个图中，分别画出一个与图中已知△ABC相似但不全等的格点三角形，并注明三角形的顶点字母．

解：如图，△DEF，△GHQ，△MNP即为所求．

图①中，∠EDF＝∠BAC＝36°，DE＝DF，AB＝AC；

图②中，GH∥AB，HQ∥BC；

图③中，∠BAC＝108°，AB＝AC．

21．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中A（﹣2，0），B（4，0）．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）根据图象，直接写出y＞0时，x的取值范围；

（3）若要使抛物线与x轴只有一个交点，则需将抛物线向下平移几个单位？

解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得

，

解得，

抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+8；

（2）由图象知，当﹣2＜x＜4时，y＞0；

（3）∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，

∴抛物线的顶点坐标为（1，9），

∴把抛物线y＝﹣x2+2x+8向下平移9个单位，抛物线与x轴只有一个交点．

22．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OE⊥AB交AC于点E，在OE的延长

线上取点D，使得DE＝DC．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AC＝2，BC＝，求CD的长．

【解答】（1）证明：连接OC，如图1，

∵DC＝DE，

∴∠DCE＝∠DEC，

∵∠DEC＝∠AEO，

∴∠DCE＝∠AEO，

∵OA⊥OE，

∴∠A+∠AEO＝90°，

∴∠DCE+∠A＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠ACO，

∴∠DCE+∠ACO＝90°，

∴OC⊥DC，

∴CD是⊙O的切线；

（2）如图2，过点D作DF⊥CE于点F，

∵AC＝2∴AB＝，BC＝＝，

＝5，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠AOE，

又∵∠A＝∠A，

∴△AOE∽△ACB，

∴，

∴，

∴AE＝，

﹣＝，

∴CE＝AC﹣AE＝2∵CD＝DE，

∴CF＝CE＝，∠DEC＝∠DCE，

∵∠DEC＝∠AEO，∠AEO＝∠B，

∴∠DCE＝∠B，

又∵∠DFC＝∠ACB，

∴△DFC∽△ACB，

∴，

∴，

∴DC＝．

23．扶贫工作小组对果农精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果推广进市场．某水果店从果农处直接批发这种水果，批发价格为每千克24元，当每千克的销售价格定为32元时，每天可售出80千克，根据市场行情，若每千克的销售价格降低0.5元，则每天可多售出10千克（销售单价不低于批发价）现决定降价销售，设这种水果每千克的销售价格为x元，每天的销售量为y千克．

（1）求每天的销售量y千克与销售单价x元之间的函数关系式以及x的取值范围；

（2）当销售单价为多少元时，这种水果每天的销售利润最大，最大利润为多少元？

解：（1）由题意可得，

y＝80+×10＝﹣20x+720，

∵销售单价不低于批发价，

∴24≤x≤32，

即每天的销售量y千克与销售单价x元之间的函数关系式是y＝﹣20x+720（24≤x≤32）；（2）设销售利润为w元，

由题意可得，w＝（x﹣24）（﹣20x+720）＝﹣20（x﹣30）2+720，

∴当x＝30时，w取得最大值，此时w＝720，

即当销售单价为30元时，这种水果每天的销售利润最大，最大利润为720元．

24．如图1，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，D，E分别是别交AC，BC于点F，G．

（1）求证：△DFC∽△CGE；

（2）若DF＝3，tan∠GCE＝，求FG的长；

，的中点，连接DE分（3）如图2，连接AD，BE，若＝x，＝y，求y关于x的函数表达式．

解：（1）∵点D是∴，

的中点，

∴∠ACD＝∠CED，

∵点E是∴的中点，

，

∴∠CDE＝∠BCG，

∴△DFC∽△CGE；

（2）由（1）知，∠ACD＝∠CED，∠CDE＝∠BCG，

∴∠ACD+∠CDE＝∠CED+∠BCG，

∴∠CFG＝∠CGF，

∵CF＝CG，

∵∠ACB＝60°，

∴△CFG是等边三角形，

如图1，过点C作CH⊥FG于H，

∴∠DHC＝90°，

设FH＝a，

∴∠FCH＝30°，

∴FG＝CF＝2a，CH＝∵DF＝3，

∴DH＝DF+FH＝3+a，

∵∠GCE＝∠CDE，tan∠GCE＝∴tan∠CDE＝，

，

a，

在Rt△CHD中，tan∠CDE＝∴＝，

＝，

∴a＝1，

∴FG＝2a＝2；

（3）如图2，连接AE，则∠AEB＝∠ACB＝60°，

∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝∠ACD+∠CDF＝∠CFG＝60°，

∴∠AEB＝∠DAE，

∴BE∥AD，

设BE与AD的距离为h，

∴＝，

∴S△ABE＝•S△ADE，

，的中点，

∵D，E分别是∴CD＝AD，BE＝CE，

∴S△ABE＝•S△ADE，

过点D作DM⊥AC于M，

∵，

∴AD＝CD，

∴AC＝2CM，

由（2）知，△CFG是等边三角形，∴∠CFG＝60°，

∴∠DFM＝60°，

∴∠MDF＝30°，

设MF＝m，则DM＝∵＝x，

m，DF＝2m，

∴CF＝x•DF＝2mx，

∴CG＝CF＝2mx，

由（1）知，△DFC∽△CGE，

∴∴∴S△ABE＝，

＝，

•S△ADE＝S△ADE，

S△ADE，

∴S四边形ABED＝S△ADE+S△ABE＝∵MF＝m，CF＝x•DF＝2mx，

∴CM＝MF+CF＝m+2mx＝（2x+1）m，

∴AC＝2CM＝2（2x+1）m，

∴AF＝AC﹣CF＝2（2x+1）m﹣2mx＝2（x+1）m，

过点A作AN⊥DF于N，

∴S△ADF＝AF•DM＝DF•AN，

∴AN＝＝＝（x+1）m，

过点C作CP⊥FG，

由（2）知，PF＝CF＝mx，CP＝mx，

∴y＝＝＝•＝•＝•＝•＝．