2024年3月14日发(作者：)
1.某一市场需求函数如下：
p=100−0.5(q
1
+q
2
)
在该市场上只有两家企业，它们各自的成本函数为
2
c
1
=5q
1
,c
2
=0.5q
2
,
（1）在斯塔克尔博格模型中，谁会成为领导者？谁会成为追随者？
（2）该市场最后的结局是什么？为什么？
2.（价格竞争模型）有两个寡头企业，它们的利润函数分别是：
2
π
1
=−(p
1
−ap
2
+c)
2
+p
2
π
2
=−(p
2
−b)+p
1
p
1
,p
2
是两个企业采取的价格，a,b,c是常数。
2
（1） 求企业1先决策时的均衡。
（2） 求企业2先决策时的均衡。
（3） 是否存在某些参数值（a,b,c）使得每个企业都希望自己先决策？
3.对某商品，市场需求曲线为p=100-2Q,生产该产品的任何厂商的总成本函数为
TC(q)=4q.
（1）假设市场上有两个古诺厂商A,B，这两个厂商的反应线分别是什么？求解
古诺均衡时的产量。
（2）假设市场上有两个厂商，一个是领导者A，一个是追随者B,求解斯坦克尔
博格均衡。
4.斯密与约翰玩数字游戏。每一个人选择1、2或者3。如果数字相同，约翰支
付给斯密3美元。如果数字不同，斯密支付给约翰1美元。
（1）描述这个对策的报酬矩阵，并且证明没有纳什均衡策略组合。
（2）如果每一个局中人以1/3的概率选择每一个数字，证明这个对策的混合策
略确实有一纳什均衡。这个对策的值是什么？
5.在下表所示的策略型博弈中，找出占优均衡。
L N Q
U 4，3 5，1 6，2
M 2，1 8，4 3，6
D 3，0 9，6 2，8
6.模型化下述划拳博弈：两个朋友在一起划拳喝酒，每个人有四个纯战略：杆子，
老虎，鸡和虫子。输赢规则是：杆子降老虎，老虎降鸡，鸡降虫子，虫子降杠子。
两个人同时出令。如果一个打败另一个，赢者的效用为1，输者的效用为-1；否
则，效用均为。写出这个博弈的收益矩阵。这个博弈有纯策略纳什均衡吗？计算
出混合策略纳什均衡。
7.巧克力市场上有两个厂商，各自都可以选择市场的高端（高质量），还是低端
（低质量）。相应的利润由如下得益矩阵给出：
厂商2
低质量 高质量
厂商1
低质量 -20，-30 900，600
高质量 100，800 50，50
如果有的话，哪些结果是纳什均衡？
如果各企业的经营者都是保守的，并都采用最大最小化策略，结果如何？
合作的结果是什么？
哪个厂商从合作的结果中得到的好处最多？哪个厂商要说服另一个厂商需要给
另一个厂商多少好处？
8.考虑下列策略型博弈：
B
L N Q
U 1，-2 -2，1 0，0
A
M -2，1 1，-2 0，0
D 0，0 0，0 1，1
请问，该博弈里有几个均衡？为什么？
9.在下列策略型博弈里，什么是占优解？什么是纯策略纳什均衡解？
游戏者2
L N Q
U 2，0 1，1 4，2
游戏者1
M 3，4 1，2 2，3
D 1，3 0，2 3，0
10.你是一个相同产品的双寡头厂商之一，你和你的竞争者生产的边际成本都是
零 。而市场的需求函数是p=30-Q
（1）设你们只有一次博弈，而且必须同时宣布产量，你会选择生产多少？你期
望的利润是多少？为什么？
（2）若你必须先宣布你的产量，你会生产多少？你认为你的竞争者会生产多少？
你预计你的利润是多少？先宣布时一种优势还是劣势？为了得到先宣布或者后
宣布的选择权，你愿意付出多少？
（3）现在假设你正和同一个对手进行十次系列博弈中的第一次，每次都同时宣
布产量，你想要你十次利润的总和（不考虑贴现）最大化，在第一次你将生产多
少？你期望第十次生产多少？第九次呢？为什么？
11.考虑下图所示的房地产开发博弈的扩展型表述：
开发商A
开发
开发商B
开发
不开发
开发
不开发
开发商B
不开发
（-3，-3） （1，0） （0，1） （0，0）
（1）写出这个博弈的策略式表述。
（2）求出纯策略纳什均衡。
（3）求出子博弈完美纳什均衡。
12.两家电视台竞争周末黄金时段晚8点到10点的收视率，可选择较好的节目放
在前面还是后面。他们决策的不同组合导致收视率如下：
电视台1
前面 后面
电视台2
前面 18，18 23，20
后面 4，23 16，16
（1）如果两家同时决策，有纳什均衡吗？
（2）如果双方采用规避风险的策略，均衡的结果是什么？
（3）如果电视台1先选择，结果是什么？若电视台2先选择呢？
（4）如果两家谈判合作，电视台1许诺将好节目放在后面，这许诺可信吗？结
果可能是什么？
13.X公司垄断了震动充水床垫的生产。这种床垫的生产是相对缺乏弹性的——
当价格为每床1000元时，销售25000床；当价格为每床600元，销售30000床。
生产充水床垫的惟一成本是最初的建厂成本。X公司已经投资建设生产能力达到
25000床的工厂，滞留成本与定价决策无关。
（1）假设进入这个行业能够保证得到一半市场，但是要投资10000000元建厂。
构造X公司策略（p=1000或者p=600）反对进入策略（进入或者不进入）的报酬
矩阵。这个对策有纳什均衡吗？
（2）假设X公司投资5000000元将现有工厂的生产能力扩大到生产40000床充
水床垫。阻止竞争对手的进入是有利可图的策略吗 ？
14.下表给出了一个两人的同时博弈，若这个同时博弈进行两次，第二次博弈是
在知道第一次博弈的前提下进行的，并且不存在贴现因子。收益（4，4）能够在
纯策略的子博弈完备的纳什均衡中作为第一次博弈的结果吗？如果它能够，给出
策略组合；如果不能够，请说明为什么不能？
15.假定有几位企业家，每位企业家都有一个投资项目。每个项目的回报R，是
服从于[a,b ]上的均匀分布的，这里a=100，b=150。每个项目的成本为100，而
所有的企业家都没有自由资金。若银行向企业家贷款，银行是委托人，企业家则
成了代理人。银行为了观察与监督企业家对资金的使用情况，则要在每一项目上
花费5（观察的成本）。问：
（1）项目的期望毛回报E（R）是多少？
（2）如果银行需要以25%为利率去吸引存款，上述项目能从银行贷到资金吗？
请说明你的理由。
（3）如银行以10%的利率去吸引存款，又要监管所有项目，则银行从项目的回
报R中要分多高的百分比才能使银行收支相抵。
（4）（3）问中的分享合约在有监督成本的条件下能产生纳什均衡吗？为什么？
16. This part contains three questions.
（1） For each of the following statements, provide a proof if it is true or a
counter-example if it is not.
（a）In a static game of complete information, a pure strategy Nash equilibrium does
not contain any weakly dominated strategy.
（b）In a game tree representing a finite dynamic game of complete and perfect
information, the number of subgames (including the dynamic game) is equal to the
number of nonterminal nodes.
（2） Consider the following game.
T (p11)
Player 1
M (p12)
L (p21)
4 , 4
0 , 0
Player 2
C (p22)
0 , 0
1 , 2
R (p23)
0 , 0
0 , 1
B (p13) 0 , 0 0 , 2 3 , 3
（a）Find all the pure strategy Nash equilibria.
（b）Find ONE mixed strategy Nash equilibrium (that is not a pure strategy Nash
equilibrium)
（c）Consider a two-stage repeated game in which the above simultaneous-move
game is played twice. The outcome of the first play is observed before the next play
begins. The payoff for the entire game is simply the sum of the payoffs from the two
stages. That is, the discount factor
δ
=1
. Find one subgame perfect Nash equilibrium
of the repeated game in which the outcome of the first stage is (B, C).
（d）Now suppose that both players discount the payoffs from stage 2 by the discount
factor δ, where
0<
δ
<1
. Determine the range of δ such that the subgame perfect
Nash equilibrium you found in c) is still a subgame perfect Nash equilibrium.
（3）Consider an infinitely repeated game in which the following simultaneous move
game is repeated infinitely.
Player 2
L2 R2
R1 -1 , 4 3 , 3
（a）Determine the range of the discount factor δ such that the infinitely repeated
game has a Nash equilibrium in which player i plays the following trigger strategy:
At stage 1, player i plays Ri
At stage t, if the outcome of every of all t–1 previous stages is (R1, R2) then player i
plays Ri; otherwise, player i plays Li.
（b）Argue that the Nash equilibrium in a) is subgame prefect.
17. Consider the following dynamic game. This is a complicated game tree. Note that
there are three players in this game. Player 1's payoff is the first number in each triple.
Player 2's payoff is the second number in each triple. Player 3's payoff is third number
in each triple.
Player 1
L1 0 , 0 4 , -1
Player 1
A
Player 2
B
Player 2
C
Player 3
D
Player 3
Player 3
C'
F'
2, 4, 2
Player 3
D'
Player 3
E
F
E'
Player 2
G
2, 2, 1
Player2
H
Player1
G
1, 1, 2
T
X'
H
1, 1, 1
2, 2, 0
1, 2, 3
J
Player 3
K
P
Q
3, 2, 3
X
2, 3, 2
S
Y
Player 2
P
Q
Y'
1, 2, 1
3, 2, 1
2, 0, 2
2, 1, 2
2, 2, 1
3, 1, 2
（a）Write down all the strategies for player 1.
(b) How many information sets does player 3 have?
(c)Construct the normal-form for the subgame following D as indicated in the tree.
Note that this subgame is played by player 2 and 3. You can ignore player 1's payoffs.
Find all pure strategy Nash equilibria in your normal-form.
(d) Use backward induction to find all the subgame perfect Nash equilibria. Write
down clearly the subgame perfect Nash equilibria you found.
18. This part contains one question.
Only four firms, 1, 2, 3 and 4, produce a homogeneous product in a market. Let
q
i
denote the quantity produced by firm i, for i=1, 2, 3, 4. The market price is
P(Q)=a−Q, where Q=q
1
+q
2
+q
3
+q
4
Each firm has a constant marginal cost of production, c, and no fixed cost. That is,
C(q)=cq
i
firm i's cost function is
ii
. The timing is as follows.
• Firm 1 and firm 2 simultaneously chooses
q
1
and
q
2
, respectively.
•
q
3
After observing
q
1
and
q
2
, then firm 3 and firm 4 simultaneously chooses
and
q
4
, respectively.
Find the subgame perfect Nash equilibrium. What is the outcome?
You may use the property of symmetry when you solve equations.
19. Bayesian Nash equilibrium. This part contains two questions.
(1) Battle of sexes with incomplete information (version one)
Consider the battle of sexes with incomplete information. This static game of
incomplete information has a Bayesian Nash equilibrium: (Opera, (Opera if happy,
Prize Fight if unhappy)) if Chris believes that Pat is happy with probability 0.5, and
unhappy with probability 0.5 (Why? Surely it needs computing carefully). Now we
check what happens if Chris' belief changes. Let's assume that Chris believes that Pat
is happy with probability p, and unhappy with probability 1–p.
Determine the range of p such that (Opera, (Opera if happy, Prize Fight if unhappy))
is a Bayesian Nash equilibrium.
Pat
Payoffs if Pat is happy
with probability p
Opera Prize Fight
Chris
Payoffs if Pat is
Pat
unhappy with
Opera Prize Fight
probability 1–p
Opera 2 , 0 0 , 2
Chris
Prize Fight0 , 1 1 , 0
(2) Fighting an opponent of unknown strength
Two people, Bruce and Pat, are involved in a dispute. Bruce does not know whether
Pat is strong or weak. But Bruce believes that Pat is strong with probability p, and
weak with probability 1–p. Pat is fully informed. Each person can either fight or yield.
The payoffs are shown as follows.
Pat
Payoffs if Pat is strong
with probability p
Fight Yield
Bruce
Payoffs if Pat is weak
with probability 1–p
Bruce
Fight
Yield
Pat
Fight Yield
1 , -1
0 , 1
1 , 0
0 , 0
Fight
Yield
-1 , 1
0 , 1
1 , 0
0 , 0
Opera
Prize Fight
2 , 1
0 , 0
0 , 0
1 , 2
(a) Show that there is a unique pure strategy Bayesian Nash equilibrium if
p<
1
.
2
1
.
2
Write down the unique pure strategy Bayesian Nash equilibrium.
(b) Show that there is a unique pure strategy Bayesian Nash equilibrium if
p>
Write down the unique pure strategy Bayesian Nash equilibrium.
(c) What happens if
p=
1
2
?
20.设定一个博弈模型必须确定哪几个方面？
21.“囚徒困境”的内在根源是什么？举出现实中囚徒困境的具体例子。
22.博弈论在当前我国的经济体制改革和市场经济建设中有哪些可应用的地方？
23.多重纳什均衡是否会影响纳什均衡的一致性预测性质，对博弈分析有什么不
利影响？
24.设古诺模型中有n家厂商。q
i
为厂商i 的产量，Q=q
1
+…+q
n
为市场总产量。P
为市场出清价格，且已知P=P（Q）=a-Q(当Q< a时，否则P=0)。假设厂商i 生产
q
i
产量的总成本为C
i
=C
i
(q
i
)=cq
i
也就是说没有固定成本且各厂商的边际成本相
同，为常数c（c 趋于无穷大时博弈分析是否仍然有效？ 24.动态博弈分析中为什么引进子博弈完美纳什均衡，它与纳什均衡是什么关 系？ 25.连个兄弟分一块冰激凌。哥哥先提出一个分割比例，弟弟可以接受或者拒绝， 接受则按哥哥的提议分割；若拒绝就自己提出一个比例。但这时冰激凌已化得只 剩1/2了。对弟弟提议的比例哥哥也可以接受或者拒绝；若接受则按弟弟的提议 分割，若拒绝冰激凌会全部化光。因为兄弟之间不应该做损人不利己的事，因此 我们假设接受和拒绝利益相同时兄弟俩都会接受。求该博弈的子博弈完美纳什均 衡。如果冰激凌每阶段只化掉1/3，博弈的字博弈完美纳什均衡是什么？ 26.考虑下列基本的代理人模型 y=k*a+ ε ( ε ∈N(0, σ 2 ) 这里，y为代理人对委托人的贡献，a是代理人的努力程度，k>0为参数（vk可 代表委托人为代理人所创造的工作环境与技术装备，k越高，则给定 a会产生更 大的贡献）。 又假定，委托人与代理人都是风险中性的。代理人的努力成本函数为C（a）。 求解： （1）假定委托人与代理人之间签订一个线性合约：w=s+by 代理人会采取什么行动？代理人的行动“a”会如何随b而发生变化？ 代理人的行动会如何随k而发生变动？ −rx u(x)=−e （2）现在假定代理人的效用函数形式为 1 2 C(a)= 2 a 。 又假定代理人的努力的成本函数为 k 2 b = 2 * b k + r σ 2 证明：最优线性契约中激励系数必满足 * 27.考虑一个道德风险模型。在这里，所有者是风险中立的，而代理人的偏好使 被定义为其收入w的均值与方差以及其付出的努力e之上的，代理人的期望效用 为 E(u)=E(w)− φ Var(w)−g(e) ''''''' g(e)g(0) = 0;g(e),g(e),g(e) >> 0 时，当 e>0 这里代表代理人的努力成本，且 时，并且 lim= ∞ 。Ve的可能值为 e ∈ R + 。利润 π 是取决于e的，并且 π 服从 e →∞ 正态分布，其均值为e，方差为 σ 。 2 （1） 考虑线性契约： w( π )= α + βπ ，证明：当 w( π ) ， e 与 σ 给定时 ，代理人 2 22 α + β e − φβσ − g(e) 的期望效用为： （2） 推导：当 e 可观察时的最优契约。 （3） 当 e 是不可观察时，请导出 最优线性契约。 28.目前我国商品房交易中普遍存在着对商品房质量的信息不对称现象，即房地 产开发商对商品房质量的了解程度远比购房的居民多。 （1）假定买卖双方对商品房质量都有充分的了解，试 作图说明高质量和低质量 房的市场供求状况。 （2）在信息不对称条件下，试作图分析高质量房和低质量房的市场供求变动状 况。 （3）根据经济学原理，试简要讨论如何解决我国商品房交易中由于信息不对称 造成的问题。 29.假定有两类工人：高能力的工人和低能力的工人。工人的工资由他的能力决 定—高能力的工人赚50000元，低能力的赚30000元。厂商不能测度工人的能力， 但是它却可以了解到工人是否有高中文凭。工人的效用由他们在工资上与为获得 文凭支付的费用上的差异所决定。 （1）如果高能力工人与低能力工人在获得高中文凭中的花费是一样的，那么， 在这种情况下，是否可以存在一种高能力工人拿工资、低能力工人拿低工资的分 离的均衡？ （2）高能力工人为了获得高中文凭所愿意支付的费用最大数量是多少？如果有 一种文凭可以让雇主去识别高能力工人的话，为什么低能力的工人来说，这种文 凭一定要使其花费更多？ 30.工人或者具有高能力（H）或者具有低能力（L）。一项高质量的教育（e）能 y=H+de ；够提高工人的生产率（y）：高能力的人受了此项教育之后的生产率为： 低能力的人受了此项教育之后的生产率为： y=L+de 。假定学费与教育质量无 关，所以我们抽象掉学费。为了获得这项教育，低能力（L）的人要承受的非货 币的成本为 C(e)=e ；而对高能力（H）的人来说，该成本为 C(e)=ke,0 。 对工人的报酬是 W−C(e) （W是工资）；而企业则获得： y−W 。 如果企业不知道工人们的生产率。只有工人知道自己的生产率，企业则只有 把 受教育当作信号来辨别H或L。 * 假定企业相信，只有H型的工人才会选择 e>e 的教育，而L 型的工人则只 ** 会选择 e 的教育。那么 e 值应等于多少才合适？
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