2024年6月3日发(作者：)

;第一章

一、填空题

1. 若事件A

B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A－B)=（ 0.3 ）。

2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为

0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。

3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为

（

ABACBC

）。

4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，

0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。

5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为

（ 0.3456 ）。

6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（

ABC

）。

7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为

（

ABAC

；

BC

）

8. 若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）；

9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求

敌机被击中的概率为（ 0.8 ）；

10. 若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(

AB

)=（ 0.5 ）

11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，

0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。

12. 若事件A

B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(

AB

)=（ 0.3 ）;

13. 若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(

AB

)=（ 0.5 ）

14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则

AB

（ S ）

15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为

（

ABCABCABC

）

16. 若

P(A)0.4

，

P(B)0.2

，

P(AB)

0.1则

P(AB|A

17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则

AB

=（ S ）

18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（

B)

（ 0.2 ）

1

）。

10000

二、选择填空题

1. 对掷一骰子的试验，在概率中将“出现偶数点”称为（ D ）

Ａ、样本空间 Ｂ、必然事件 Ｃ、不可能事件 D、随机事件

2. 某工厂每天分3个班生产，

A

i

表示第

i

班超额完成任务

(i1,2,3)

，那么至少有两个班超

额完成任务可表示为（ B ）

1

A、

A

1

A

2

A

3

A

1

A

2

A

3

A

1

A

2

A

3

B、

A

1

A

2

A

3

A

1

A

2

A

3

A

1

A

2

A

3

A

1

A

2

A

3

C、

A

1

A

2

A

3

D、

A

1

A

2

A

3

3.设当事件

A

与

B

同时发生时

C

也发生, 则 (C ).

(A)

AB

是

C

的子事件; (B)

ABC;

或

ABC;

(C)

AB

是

C

的子事件; (D)

C

是

AB

的子事件

4. 如果A、B互不相容，则（ C ）

A、Ａ与Ｂ是对立事件 B、

A

C、

A

B

是必然事件

B

是必然事件 D、

A

与

B

互不相容

5．若

AB

，则称

A

与

B

（ B ）

A、相互独立 B、互不相容 C、对立 D、构成完备事件组

6．若

AB

，则（ C ）

A、

A

与

B

是对立事件 B、

AB

是必然事件

C、

AB

是必然事件 D、

A

与

B

互不相容

7．Ａ、Ｂ为两事件满足

BAB

，则一定有（ B ）

A、

A

B、

AB

C、

AB

D、

BA

8．甲、乙两人射击，Ａ、Ｂ分别表示甲、乙射中目标，则

AB

表示（ D ）

Ａ、两人都没射中 Ｂ、两人都射中 Ｃ、至少一人没射中 D、至少一人射中

三、计算题

1.用3台机床加工同一种零件,零件由各机床加工的概率分别为0.4,0.4,0.2;各机床加工的零

件的合格品的概率分别为0.92,0.93,0.95,求全部产品的合格率.

解:设

B

表示产品合格，

A

i

表示生产自第

i

个机床（

i1,2,3

）

P(B)

P(A

i

)P(B|A

i

)0.40.920.40.930.20.95

i1

3

2．设工厂A、B和C的产品的次品率分别为1%、2%和3%， A、B和C厂的产品分别占50%、

40%和10%混合在一起，从中随机地抽取一件，发现是次品，则该次品属于A厂生产的概率是

多少？

解:设

D

表示产品是次品，

A

1

,A

2

,A

3

表示生产自工厂A、B和C

P(A

1

|D)

P(A

1

)P(D|A

1

)

P(A)P(D|A)

ii

i1

3

0.010.5

0.010.50.020.40.030.1

3.设某批产品中, 甲, 乙, 丙三厂生产的产品分别占45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分

2

别为4%, 2%, 5%, 现从中任取一件,

(1) 求取到的是次品的概率;

(2) 经检验发现取到的产品为次品, 求该产品是甲厂生产的概率.

解:设

D

表示产品是次品，

A

1

,A

2

,A

3

表示生产自工厂甲, 乙, 丙

P(D)

P(A

i

)P(D|A

i

)0.450.040.350.020.20.05

0.026

i1

3

P(A

1

|D)

P(A

1

)P(D|A

1

)

0.450.04

9



P(D)

13

4．某工厂有三个车间，生产同一产品，第一车间生产全部产品的60%，第二车间生产全部

产品的30%，第三车间生产全部产品的10%。各车间的不合格品率分别为0.01，0.05，0.04，

任取一件产品，试求抽到不合格品的概率？

解:设

D

表示产品是不合格品，

A

1

,A

2

,A

3

表示生产自第一、二、三车间

P(D)

P(A

i

)P(D|A

i

)0.60.010.30.050.10.04

0.025

i1

3

5．设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A和B的产品分别占60%

和40%的一批产品中随机地抽取一件，发现是次品，则该次品属于A厂生产的概率是多少？

解:设

D

表示产品是次品，

A

1

,A

2

表示生产自工厂A和工厂B

P(A

1

|D)

P(A

1

)P(D|A

1

)

P(A)P(D|A)

ii

i1

2

0.010.6

3

0.010.60.020.4

7

6.在人群中，患关节炎的概率为10%, 由于检测水平原因，真的有关节炎能够检测出有关节炎

的概率为85%. 真的没有而检测出有的概率为4%，假设检验出其有关节炎，问他真有关节炎

的概率是多少?

解:设

A

表示检验出其有关节炎，

B

表示真有关节炎

P(B|A)

P(B)P(A|B)0.10.85



0.7025

P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)0.10.850.90.04

第二章

一、填空题

1．已知随机变量

X

的分布律为：

X

P

101

2

，则

P{X0}

（ 0.4 ）。

0.10.40.5

2．设球的直径的测量值X服从

[1,4]

上的均匀分布，则X的概率密度函数为

3

1

1x4

，

（

f(x)

3

）。

0,其他

3．设随机变量

X~B(5,0.3)

，则E（X）为（ 1.5 ）.

4．设随机变量

X~B(6,0.2)

，则X的分布律为

kk6-k

（

P{X=k}=C

6

0.20.8,k=0,1,6

）。

5．已知随机变量

X

的分布律为：

X

P

101

2

，则

P{X1}

（ 0.6 ）。

0.10.40.5

1e

3x

,当x0,

6．设随机变量X的分布函数为

F(x)

则

X

的概率密度函数

当x0.

0,

3e

3x

,当x0,

（

f(x)

）;

当x0.

0,

7．设随机变量

X~N(

,

)

,则随机变量

Y

（

X~N(0,1)

）;

2

X

服从的分布为

8.已知离散型随机变量X的分布律为

X

P

21013

，则常数

3a1/63aa11/30

a

( 1/15 );

9．设随机变量X的分布律为：

P{Xk}

10．设离散型随机变量

X

的分布律为

（ 0.7 ）;

A

,k1,2,,10.

则常数

A

( 1 )。

10

X

P

324

，

F(x)

为

X

的分布函数，则

F(2)

=

0.20.50.3

5e

5x

,x0

11．已知随机变量X的概率密度为

f(x)

，则X的分布函数为

x0

0,

1-e

5x

,x0

（

F(x)

）

x0

0,

12.已知随机变量X 只能取-1,0,1,2 四个值，相应概率依次为

1357

,,,

，则常数

2c4c8c16c

c

( 16/37 ).

13．已知

X

是连续型随机变量，密度函数为

p

x

，且

p

x

在

x

处连续，

F

x

为其分布函

4

数，则

F

x

=(

p(x)

)。

14．X是随机变量，其分布函数为

F

x

，则X为落在

a,b

内的概率

P

aXb

( F(b)-F（a） )。

15．已知

X

是连续型随机变量，

a

为任意实数，则

P

Xa

（ 0 ）。

16．已知

X

是连续型随机变量,且

X

～

N

0,1

，则密度函

x

=(

1

x

2

e

)。

2

2

17．已知

X

是连续型随机变量，密度函数为

p

x

，

P

aXb

=

（

b

a

p(x)dx

）。

18．已知

X

是连续型随机变量,且

X

～

N

0,1

，

x

是X的分布函数

，若

a

0.3,

则

a

（ 0.7 ）。

19．设随机变量

X~N(6,4)

，且已知

(1)0.8413

，则

P{4X8}

（ 0.6826 ）。

20．已知

X

是连续型随机变量,且

X

～

U

a,b

,则密度函数为

1

，axb

(

f(x)

b-a

)。

0,其他

二、选择填空题

1. 三重贝努力试验中,至少有一次成功的概率为

37

,则每次试验成功的概率为(A) 。

64

1132

A. B. C. D.

4343

C

,x

0,1

2

2. 设随机变量X的密度函数

f

x

1x

,则常数C为( C )。

0,其他

A.

3.

X

～

N

,

24

B. C. D.

2

4

2

，则概率

P{X

k

}

（ D ）

B. 与

有关，与

无关 A. 与

和

有关

C. 与

有关，与

无关 D. 仅与k有关

5

4．已知随机变量的分布率为

X

P

-1

0.1

0

0.2

1

0.3

2

0.4

3

。

F(x)

为其分布函数,则

F()

=（ C ）

2

A. 0.1 B. 0.3 C. 0.6 D. 1.0

5．已知X～

N

0,1

,

Y

=

2X1

, 则

Y

～（ B ）。

A.

N

0,1

B.

N

1,4

C.

N

1,3

D.

N

1,1

6．已知随机变量

X

的分布率为

X

P

0

0.1

1

0.1

2

0.2

3

0.6

则

P(X2)

（ D ）。

A． 0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6

7．在相同情况下,独立地进行5次射击,每次射击时,命中目标的概率为0.6,则击中目标的次数

X的概率分布率为（ A ）。

A. 二项分布B

(5,0.6)

B. 泊松分布P(5) C. 均匀分布

U

0.6,5

D. 正态分布

1

,axb

8．

p

x

ba

,是（ C ）分布的概率密度函数.

0,其他

A. 指数 B. 二项 C. 均匀 D. 泊松

三、计算题

1．设随机变量

X~N(1,4)

，求：F（5）和

P{0X1.6}

。

(0.2)0.5793,(0.3)0.6179,(0.4)(0.6554),(0.5)0.6915

(0)0.5,(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.9987

解：

F(5)P{X5}P{

X151

}(2)0.9772

22

01X11.61

P{0X1.6}P{}(0.3)(0.5)(0.3)(0.5)10.3094

222

N(3,4

2

)

，求

P{4X8},P{0X5}

（可以用标准正态分布的分布函数表示）。

2．设

X

P{4X8}P{

43X38351

}()()

44444

03X353

P{0X5}P{}(0.5)(0.75)(0.5)(0.75)1

444

6

3．设随机变量

X~N(2,

)

，且

P{2X4}0.3

，求

P{X0}

。

2

P{2X4}P{

()0.8

2

22

X2

42

2

}()(0)0.3

P{X0}P{

X2

02

}(

2

2

)1()0.2

4.设随机变量X的分布律为

X -1 -2 0 1

p

i

2

11

1

1

433

12

求

YX

-1的分布律。

X -1 -2 0 1

p

i

11

1

1

433

12

YX

2

-1

0 3 -1 0

Y -1 0 3

p

i

17

1

3

1212

5.某工厂生产螺栓和垫圈，螺栓直径（以毫米计）

XN(10,0.2

2

)

，垫圈直径（以毫米计）

YN(10.5,0.2

2

)

，X，Y相互独立，随机的选一只垫圈和一个螺栓，求螺栓能装入垫圈的

概率。

解：

XYN(0.5,20.2

2

)

P{XY}P{XY0}P{

XY0.500.5

}(1.768)

0.220.22

6.设随机变量

X

的概率分布率如下表

1 2 3

X

p

k

1

2

1

3

1

6

求 X的分布函数和

P{X}

。

5

4

5

2

7

解：

P{X}P{X2}

5

4

5

2

1

3

0.2,(1y0)

7．设随机变量

Y

的概率密度函数为

p

y

0.2cy,(0y1)

,求 (1)常数c;

0,(其他)

(2)

P{0Y0.5}

。

解：（1）





p(y)dy

0.2dy

(0.2cy)dy0.20.2

10

0.5

01

c

1

2

c1.2

（2）

P{0Y0.5}

(0.21.2y)dy0.20.50.60.250.25

0

第三章

一、填空题

1.设连续型随机变量

X,Y

的概率密度分别为

f

X

(x),f

Y

(y)

，且

X

与

Y

相互独立，则

(X,Y)

的

概率密度

f(x,y)

（

f

X

(x)f

Y

(y)

）。

2.已知

X~N(1,3),Y~N(1,4)

，且

X

与

Y

相互独立，则

XY~

（

X~N(0,25)

）

22

二、计算题

1．设X与Y相互独立，其概率分布如表所示，求：（1）（X，Y）的联合分布，（2）E（X），

D（Y）。

X -1 -2 0 0.5

Y -0.5 1 3

p

i

11

1

1

433

12

p

i

111

244

Y

X

-1

-2

0

0.5

-0.5 1 3

1

8

1

6

1

24

1

6

1

16

1

12

1

48

1

12

1

16

1

12

1

48

1

12

8

E(X)1

1

4

2

1

3

1

2

19

3



12

E(Y)

11113

2

2

1

4

3

4

4

E(Y

2

)

111

4

2

1

4

9

1

4

21

8

D(Y)E(Y

2

)(E(Y))

2

21933

8

16

16

2.设

(X,Y)

的分布律如下

Y 1 2 3

X

1 1/6 1/9 1/18

2 1/3 1/9 2/9

求

X

与

Y

的边缘分布.并判别X与Y是否独立。

X 1 2

P

1

2

33

Y 1 2

3

P

12

5

2

9

18

P{X1}P{Y2}

1221

3

9

27

P{X1,Y2}

9

X与Y不独立。

3．设随机变量（X,Y）的概率分布如下表所示：

X Y -1 0 1 2

-1 0.2 0.15 0.1 0.3

2 0.1 0 0.1 0.05

求X与Y的边缘分布，X和Y 是否独立

X -1 2

P 0.75 0.25

Y -1 0 1 2

P 0.3 0.15 0.2 0.35

P{X1}P{Y1}0.750.30.225P{X1,Y2}0.2

X与Y不独立

第四章

9

一、填空题

1.若随机变量X服从泊松分布X~p(λ)，则D(X)=（ λ ）。

2．若随机变量X 和Y不相关，则

D(XY)

=（ D(X)+D(Y) ）。

3．若随机变量X 和Y互相独立，则E(XY)=（ E(X)E(Y) ）。

4．若随机变量X服从正态分布X~N(

,

)，则D(X)=（

）。

5．若随机变量X在区间[1,4]上服从均匀分布X~U(1,4)，则E(X)=（ 2.5 ）。

6．已知随机变量X与Y的期望分别为E(X)=3,E(Y)=5,随机变量Z=3X-2Y，则期望E(Z)=

（ -1 ）。

9．若随机变量X服从二项分布X~B(4,0.5)，则D(X)=（ 1 ）;;

11若已知E(X)，D(X)，则

E(X)D(X)

（

(E(X))

）。

12．已知随机变量X与Y的期望分别为E(X)=2,E(Y)=5,随机变量Z=5X-2Y，则期望E(Z)=

（ 0 ）.

13．若随机变量X服从二项分布X~B(n,p)，则D(X)=（ np（1-p） ）。

14．设X~U(1,3)，则E(X)=（ 2 ）。

15．随机变量X和Y相互独立,且D(X)=5,D(Y)=6 求随机变量Z=2X-3Y的方差D(Z)=

（ 74 ）

16．

X

是随机变量，且

X

～

p

5

，则E(X)=( 5 )。

2

2

2

2

二、选择填空题

3

k

3

e

k0,1,2,3,

,则E

3

X

2

1. 已知X～

P

Xk

k!

1

= D 。

A. 3 B. 12 C. 30 D. 33

2. 随机变量X～

N

0,1

，

YX

,则相关系数

XY

=( B )

2

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

2

k

3. 随机变量X的分布率为

P

Xk

2

k0,1,2,3

,则D(2X)= D 。

ek!

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

4．已知随机变量X服从二项分布,且E(X)=2.4,D(X)=1.44,则二项分布的参数

n,p

的值分别

为（ B ）。

A.

n4,p0.6

B.

n6,p0.4

C.

n8,p0.3

D.

n24,p0.1

0.5,x

0,2

5．已知X的密度函数为

p

x

则X的数学期望E(X)= （ B ）。

其他,

A.

1

B. 1 C.2 D. 4

2

10

6．

X,Y

是互相独立的随机变量,

E

X

6,

E

Y

3

,则

E

2XY

=（ A ）。

A. 9 B. 15 C. 21 D. 27

x

1

10

e,x0

7．设X的概率密度函数为

p

x

10

,则E(2X+1)= （ C ）。

0,x0

A. 1.4 B. 41 C. 21 D. 20

8．

X,Y

是互相独立的随机变量,

D

X

6,

D

Y

3

,则

D

2XY

=（ D ）。

A. 9 B. 15 C. 21 D. 27

三、计算题

1．设二维随机变量的联合概率分布为

X Y

2

0 1

0.1

0

0.05

0.3 0.1

1

1 0.05 0.2

2 0.2 0

求：（1）X与Y的边缘分布，（2）E（X），D（Y）。

X -1 1 2

0.5 0.25 0.25

Y -2 0 1

0.55 0.3 0.15

p

i

p

i

E(X)10.510.2520.250.25

E(Y)20.5510.150.95

E(Y

2

)40.5510.152.35

D(Y)E(Y

2

)(E(Y))

2

2.350.95

2

1.4475

2．已知

XN(1,3

2

),Y

1XY

N(0,4

2

),

XY

,设Z

，求Z的期望与方差，求X与Z

232

的相关系数。

111

E(Z)E(X)E(Y)

323

11

D(Z)

1

9

D(X)

1

4

D(Y)2

1

3

1

2

cov(X,Y)

1

9

D(X)

1

4

D(Y)2

1

3

1

2

XY

D(X)D(Y)

1

9

9

1111

4

162

3

2

2

343

cov(X,

X

3

Y

,Z)

XZ

cov(X

2

)

D(X)D(Z)

33

1

D(X)

1

cov(X,Y)

32

33

0

3．设（X，Y）服从分布

X Y 0 1 2

0 3/28 9/28 3/28

1 3/14 3/14 0

2 1/28 0 0

，试求cov（X,Y）及

XY

。

E(XY)11

3

14

3

14

E(X)1

3

7

2

11

28

2

E(Y)1

1533

28

2

28

4

cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)

313

14

2

4



9

56

E(X

2

)1

314

7

4

28

7

E(Y

2

)1

15327

28

4

28

28

D(X)E(X

2

)(E(X))

2

4

7

1

4

9

28

D(Y)E(Y

2

)(E(Y))

2

27

28

9

16

0.4018

cov(X,Y)

XY

D(X)D(Y)

-0.447

12

4．设随机变量（X,Y）具有密度函数

f(x,y)

3,(x,y)G

0,其它

，其中区域G由曲线

yx

2

与xy

2

围成，求cov（X,Y）及

XY

。

解:

E(XY)

1x

3xydxdy

3

1

0

x

2

2

0

(x

2

x

5

)dx

3111

2

(

3

6

)

4

3

E(X)

1x1

219

0

x

2

3xdxdy3

0

(x

2

x

3

)dx3(

5

4

)

20

E(Y)

1

0

x

3

1

3119

x

2

3ydxdy

2

0

(xx

4

)dx

2

(

2

5

)

20

cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)

1

4

9919

20

20

800

E(X

2

)

1x

2

1

5

2

21

0

x

2

3xdxdy3

0

(xx

4

)dx3(

9

7

5

)

35

3

E(Y

2

)

1

0

x

2

1

219

x

2

3ydxdy

0

(x

2

x

6

)dx(

5

7

)

35

D(X)E(X

2

)(E(X))

2

9

35

81153

400

2800

D(Y)E(Y

2

)(E(Y))

2

981153

35

400

2800

cov(X,Y)

XY

D(X)D(Y)

0.434

5．设（X，Y）服从分布

X Y 0 1 2

0 3/28 9/28 3/28

1 3/14 3/14 0

2 1/28 0 0

试求E(X),E(XY),D(Y)。

解:

E(X)1

3

7

2

11

28

2

E(XY)11

33

14

14

E(Y)1

153

28

2

28

3

4

E(Y

2

)1

15327

28

4

28

28

13

D(Y)E(Y

2

)(E(Y))

2

279



0.4018

2816

6. 设随机变量

(X,Y)

具有概率密度，

f(x,y)

求E(X),E(Y),E(XY)。

24xy,0x1,0y1,xy1

0,

1

0

00

60

11x1

1

2

E(X)



24xydxdy12

x

2

(1x)

2

dx=

000

30

11x1

1

2

E(Y)



24xydxdy8

x(1x)

3

dx=

000

20

E(XY)

11x

24x

2

y

2

dxdy8

x

2

(1x)

3

dx

1

7. 已知，X~

N(1,3)

，Y~

N(0,16),

XY

的相关系数。

解:

E(Z)

2

1XY

，设

Z

求Z的期望与方差，求X与Z

223

111

E(X)E(Y)

232

1111

D(X)D(Y)2cov(X,Y)

4932

1111

D(X)D(Y)2

XY

D(X)D(Y)

4932

11111217

916234

4932236

D(Z)

XZ

cov(X,Z)

D(X)D(Z)

cov(X,

XY

)

23

D(X)D(Z)

11

D(X)cov(X,Y)

3

2

0.88

D(X)D(Z)

第五章

一、填空题

1．如果从总体X

中抽取样本为

X

1

,X

2

,X

3

,...,X

n

，则样本均值为

1

n

（

X

X

i

）。

n

i1

2．如果从总体

2

X中抽取样本为

X

1

,X

2

,X

3

,...,X

n

，则样本方差为

1

n

(X

i

X)

2

）（

S

。

n1

i1

14

3．设X~N（2，16），

S

为样本方差，则E（

S

）=（ 16 ）。

4．样本（X

1

，…，Xn）取自标准正态总体N（0，1），

X

，S分别为样本均值及样本标

准差，则n

X

～( N(0,1) )。

5．样本（X

1

，…，Xn）取自标准正态总体N（0，1），

X

，S分别为样本均值及样

本标准差，则

22

X

i1

n

2

i

～(

(n1)

)。

2

6

．样本（X

1

，…，Xn）取自正态总体N（

，

2

），

X

，S分别为平均数及标准差，则

X

～(

N(

,

2

7．若随机变量

X

1

,X

2

,X

3

,

,X

n

相互独立,服从同一分布,且

E

X

i

,

D

X

i

0

,

2

n

)

).

2

1

n

令

X

X

i

,则

DX

（ ）。

n

i1

n



二、选择填空题

2

1. 设总体

X~N(

,

)

，其中

已知，

未知，

X

1

,X

2

是取自总体

X

的样本，则下列

2

各量为统计量的是（ A ）

A

X

1

X

2

B 2

X

1



C

X

1

D

2

X

1

2. 样本

X

1

,X

2

,...,X

n

是来自正态总体的简单随机样本；下列各统计量服从标准正态分布的

是（ D ）

A.

1

22

X

n

(X

1

X

2

X

n

)

B.

X

1

2

X

2

n

2

1

n

X

C. D.

(XX)

i

n1

i1

/n

3．从总体中抽取容量为5的一个样本1.1 0.9 1.2 1.2 1.1，则

x

=（ B ）

A.1 B.1.1 C.1.2 D.5.5

4．若

X

2

(5)

，则D(X)=（ B ）

15

A.1 B.10 C.5 D.0

5．从总体中抽取容量为5的一个样本10.1 9.9 10.2 10.2 10.1，则

x

=（ B ）

A.10 B.10.1 C.10.2 D.50.5

6．若

X

2

(5)

，则E(X)=（ C ）

A.1 B.10 C.5 D.0

三、计算题

1．从正态总体中抽取5个样本如下：8.1,8.2,8.3,7.8,7.6,；求样本均值与样本方差。

解:

x

8.18.28.37.87.6

8

5

1

s

2

[(8.18)

2

(8.28)

2

(8.38)

2

(7.88)

2

(7.68)

2

]0.085

4

2．从总体抽取5个样本如下：5.1,5.2,5.4,4.6,4.7，求样本均值和样本方差。

5.15.25.44.64.7

5

5

1

s

2

[(5.15)

2

(5.25)

2

(5.45)

2

(4.65)

2

(4.75)

2

]0.115

4

3.

从正态总体中抽去了容量为5的一个，样本，数据如下：7.3、7.2、7.1、6.8、6.6；求样本

x

均值与样本方差。

7.37.27.16.86.6

7

5

1

s

2

[(7.17)

2

(7.27)

2

(7.37)

2

(6.87)

2

(6.67)

2

]0.085

4

第七章

一、填空题

x

ˆ

)

，则称

ˆ

是未知参数

的一个估计量，若

E(

ˆ

为参数

的一个( 无偏 )估计量。 1．设

2

2．设总体

X~N(

,

)

，

为未知，

为未知，设

X

1

,X

2

,

2

,X

8

为来自总体

X

的一个样

7S

2

7S

2

本，则

的置信度为0.95的置信区间为（

(

2

。

,

2

)

）

0.025

(7)

0.9755

(7)

2

ˆ

)

）

ˆ

是未知参数

的一个估计量，若（

E(

ˆ

为参3．设

，则称

数

的一个无偏估计量。

2

4．设总体

X~N(

,

)

，

为已知，

为未知，设

X

1

,X

2

,

,X

n

为来自总体

X

的一个

2

样本，则

的置信度为

1

的置信区间为（

(x

n

z

,x

2

n

z

)

）。

2

二、选择填空题

16

1. 下列统计量( A )既是总体均值

的无偏估计量又是矩估计量.

2

2

A

X

B

S

C

S

0

D

1

X

n

2．在单正态总体期望

区间估计中（

已知），已知置信度为0.95，下面说法正确的是

（ A ）。

A．使用分位数

u

0.025

1.96

B．使用分位数

t

0.05

(15)1.7531

C．加大样本容量会使置信区间变大 D．降低置信度会使置信区间变大

2

三、计算题

1．设总体X服从正态分布

N(5,1)

，

X

1

,X

2

,X

3

为一个样本，试验证

都是m的无偏估计量，那一个估计量更好。

111

E(X

1

)E(X

2

)E(X

3

)5

424

111

E(m

2

)E(X

1

)E(X

2

)E(X

3

)5

333

E(m

1

)

1113

D(X

1

)D(X

2

)D(X

3

)

164168

1111

D(m

2

)D(X

1

)D(X

2

)D(X

3

)

9993

D(m

1

)

D(m

1

)D(m

2

)

2．设总体X的概率密度为

2

(

x),0x

f(x)

2

其它

0,

其中

a

是未知数，

X

1

,X

2

,

,X

n

是取自X的样本, 求参数

的矩估计。

解：

1

E(X)

3

1

A

1

X

ˆ

3X

0

21

(

x)xdx

2

33

2

3．以X表示某种小包装糖果的重量（单位以克计），

XN(

,4)

，今取得样本容量为10

的样本均值为56.61，求

的置信度95%的置信区间。(

u

0.025

1.96

,

u

0.05

1.645

)

17

解:

的置信度95%的置信区间为

n

z

,x

2

(x

n

z

)(56.61

2

44

1.96,56.611.96)(54.13,59.09)

1010

4．设总体X服从正态分布

N(m,1)

，

X

1

,X

2

为一个样本，试验证

m

1

解:

1412

X

1

X

2

,m

2

X

1

X

2

都是m的无偏估计量，那一个估计量更好。

5533

14

E(X

1

)E(X

2

)m

55

12

E(m

2

)E(X

1

)E(X

2

)m

33

11617

D(X

1

)D(X

2

)

D(m

1

)

252525

145

D(m

2

)D(X

1

)D(X

2

)

999

E(m

1

)

D(m

1

)D(m

2

)

5．以X表示某种小包装糖果的重量（单位以克计），

XN(

,4)

，今取得样本容量为10

的样本均值为56.61，求

的置信度95%的置信区间。(

u

0.025

1.96

,

u

0.05

1.645

)

解:

的置信度95%的置信区间为

(x

n

z

,x

2

n

z

)(56.61

2

44

1.96,56.611.96)(54.13,59.09)

1010

6. 设总体X服从正态分布

N(m,1)

，

X

1

,X

2

为一个样本，试验证

ˆ

1

m

1213

ˆ

2

X

1

X

2

都是m的无偏估计量，哪一个估计量的估计效果

X

1

X

2

,m

3344

更好。

解:

12

E(m

1

)E(X

1

)E(X

2

)m

33

13

E(m

2

)E(X

1

)E(X

2

)m

44

145

D(m

1

)D(X

1

)D(X

2

)

999

1910

D(m

2

)D(X

1

)D(X

2

)

161616

D(m

1

)D(m

2

)

18

7.设总体X具有分布。

知，已经取得样本

求

的最大似然估计值。

X

p

1 2 3

其中参数（0<

<1）未

2

2

(1

)

(1

)

2

x

1

1,x

2

2,x

3

1

，

P{Xx}2

(3x)(x1)

3x

(1

)

x1

L(

)

2

i1

3

3

(3x

i

)(x

i

1)

3x

i

(1

)

x

i

1

2

3

i1

3

(3x

i

)(x

i

1)

i1

3

3x

i

(1

)

i1

x

i

1

3

解:

lnL(

)

(3x

i

)(x

i

1)ln2(

3x

i

)ln

(

x

i

1)ln(1

)

i1i1i1

3

3x

i

(

x

i

1)

dlnL(

)

i1

i1

0

d



1

5

6

8.有一大批葡萄。从中随机抽取样30份袋，算经检测糖含量的均值与方差如下：

33

x14.72,s

2

(1.381)

2

1.9072

，并知道糖的含量服从正态分布，求总体均值

的置信水平

为0.95的置信区间。

（

t

0.025

(29)2.0452,t

0.025

(30)2.0432,t

0.05

(29)1.6991,t

0.05

(30)1.6973

）

解：

的置信水平为0.95的置信区间

(x

ss1.3811.381

t

(n1),xt

(n1))(14.722.0452,14.722.0452)(14.20,15.24)

n

2

n

2

3030

9．设总体X的概率密度为

(

1)x

,0x1

，其中

（

1

）为待估参数，设

X

1

,X

2

...X

n

是来自X

f(x,

)

0,其他

的样本求

的矩估计量

解：

19

1

E(X)

(

1)x

1

dx

0

1

1

2

12

1

1

1

12X

X1

A

1

X

10．从总体

X

N(

,25)

中抽取容量为4的样本，其中

未知，则以下估计量哪一个更好。

11

T

1

(X

1

X

2

)(X

3

X

4

)

63

T

2

(X

1

2X

2

3X

3

4X

4

)/5

T

3

(X

1

X

2

X

3

X

4

)/4

11

E(T

1

)(E(X

1

)E(X

2

))(E(X

3

)E(X

4

))

63

E(T

2

)(E(X

1

)2E(X

2

)3E(X

3

)4E(X

4

))/52

E(T

3

)(E(X

1

)E(X

2

)E(X

3

)E(X

4

))/4

115

(D(X

1

)D(X

2

))(D(X

3

)D(X

4

))25

36918

25

D(T

3

)(D(X

1

)D(X

2

)D(X

3

)D(X

4

))/16

16

D(T

1

)D(T

3

)

D(T

1

)

11．设总体

X~N(

,

)

,

2

与

2

均未知,从总体中抽取容量为12的样本,算得

0.95的

x

=66.3,s=9.4,求置信度为

的置信区间,(其中

t

0.025

(11)2.2010,t

0.025

(12)2.1788,t

0.05

(11)1.7959,t

0.05

(12)1.7823

)

解：

的0.95置信区间

ss9.49.4

(xt

(n1),xt

(n1))(66.32.2010,66.32.2010)(60.32,72.28)

n

2

n

2

1212

12.以X表示某工厂制造的某种器件的寿命（以小时计），设

XN(

,1296)

，今取得一容量

为27的样本，测得样本均值为1478，求

的置信水平为0.95的置信区间。

解：

的置信水平为0.95的置信区间

(x

n

z

,x

2

n

z

)(1478

2

3636

1.96,14781.96)(1437,1519)

2727

第八章

一、填空题

1．假设检验的统计思想是概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上不会发生的，该原

20

理称为( 实际推断原理 )。

2．在正态总体中，抽取样本

X

1

,X

2

,X

3

,...X

100

进行检验，其中总体的均值和方差都未知，要

对总体的方差进行假设检验，则使用（

）检验进行检验。

3．设显著水平为

，当原假设不正确时，由于样本的随机性，作出了“接受假设”的决策，

因而犯了错误，称为犯了( 取伪 )错误。

4．在检验问题中，当水平

确定后，为了减少决策时犯错误的概率，我们通常采用的方法是

（ 增大样本量 ）。

2

5．设总体

X~N(

,

)

，

、

已知，

X

1

,X

2

,

,X

n

是取自总体

X

的样本，则检验统计

2

2

量为U=（

X-

0

n

）。

6．设显著水平为

，当原假设正确时，由于样本的随机性，作出了“拒绝接受假设”的决策，

因而犯了错误，犯该错误的概率为(

)。

2

7．设总体

X~N(

,

)

，

、

未知，

X

1

,X

2

,

,X

n

是取自总体

X

的样本，

2

则检验统计量T=（

X-

0

sn

）

二、选择填空题

1.如果总体服从正态分布，总体的期望和方差未知，在对总体的期望进行检验时要采用的检

验方法是（ D ）检验。

A.

B.F C.U D.t

2.在检验总体的未知参数的过程中，我们一般采用的水平

（ C ）。

A.100 B.90 C.0.05 D.95

3.一般情况下，如果总体的期望和方差未知，在对总体的期望进行检验时要采用大样本的方

法，这里的大样本是指样本的容量（D ）。

A.10 B.20 C.40 D.100

4．在双正态总体方差相等的检验中，从两个总体中抽取样本容量分别为9和10的简单随机样

2

S

1

2

本。则

F

2

S

2

三、计算题

( D ) 。

A．F(9,10) B．F(8,10) C．F(9,9) D．F(8,9)

1.两种型号的绞线其拉断强度的抽样数据的样本均值和样本均方差如下：

21

A种：9个，

x

A

93.78,s

A

4.2065

，B种：5个

x

B

87.40,s

B

7.9561

，两样本都来自

正态总体，它们的总体均值和方差都未知，两样本独立，问在显著性水平0.05下检验方差

是否相等。

（

2222

0.025

(9)19.022,

0.975

(9)2.700,

0.05

(9)16.919,

0.95

(9)3.325

F

0.025

(8,4)8.98,F

0.0255

(4,8)5.05

）

2222

解：

H

0

:

A

B

,H

1

:

A

B

拒绝域：

FF

0.025

(8,4)8.98或者FF

0.975

(8,4)

1

0.198

5.05

4.2065

2

F0.278

2

7.9561

接受原假设，认为方差相等。

2. 电工器材厂生产一批保险丝，抽取10根，测得

x62.4,s32.1

假设熔断时间服从正态

分布，在水平

0.05

下，能否认为该批保险丝的熔断时间为64？

（

t

0.025

(9)2.2622,t

0.05

(9)1.8331,t

0.025

(10)2.2281,t

0.05

(10)1.8125

）

解：

H

0

:

64,H

1

:

64

拒绝域：

|t|t

0.025

(9)2.2622

|t

x64

|0.162.2622

s

n

接受原假设，认为熔断时间为64.

3.某种标准类型电池的容量（以A.h计）的标准差

1.66

，随机地取10只新型的电池，

测得它们的样本均值为140，样本的均方差为3.4641，问在显著性水平0.05下标准差是否有

变动。

（

0.025

(9)19.022,

0.975

(9)2.700,

0.05

(9)16.919,

0.95

(9)3.325

）

解：

H

0

:

1.66,H

1

:

1.66

2222

拒绝域：

0.025

(9)=19.022或者

0.975

(9)=2.700

2222

（n-1）s

2

=

=11.31

2

1.66

2

接受原假设。

4. 测得某地区16位成年男子体重的样本均值为74.5公斤，样本的标准差为80公斤.假设成

年男子的体重服从正态分布，并且

和

未知，在显著性水平

0.05

下，检验假设

22

2

H

0

:

72.6,H

1

:

72.6

（

t

0.025

(15)2.1315,t

0.05

(15)1.7531,t

0.025

(16)2.1199,t

0.05

(16)1.7459

）

解：

H

0

:

72.6,H

1

:

72.6

拒绝域：

|t|t

0.025

(15)2.1315

|t

x72.6

|0.092.1315

s

n

接受原假设。

5. 某工厂生产金属丝, 产品指标为折断力. 折断力的方差被用作工厂生产精度的表征. 方差

越小, 表明精度越高. 以往工厂一直把该方差保持在64(kg

2

)与64以下. 最近从一批产品中

抽取10根作折断力试验, 由样本数据算得:

x575.2,s

2

75.74.

为此,厂方怀疑金属丝折断

力的方差是否变大了（

0.05

）？

（

0.025

(9)19.023,

0.05

(9)16.919.

0.975

(9)2.7,

0.95

(9)3.325.

）

2222

H

0

:

2

64,H

1

:

2

64

22

拒绝域：

0.05

(9)=16.919

（n-1）s

2

=

=10.65

64

2

接受原假设。

6. 自某种铜溶液测得9个铜含量的百分比的观测值，算得样本均值为8.3，标准差为0.025，

样本来自正态总体

XN(

,

2

),

,

2

未知就显著性水平

0.01

检验假设

H

0

:

8.42,H

1

:

8.42

（

t

0.005

(8)3.3554,t

0.005

(9)3.2498,t

0.01

(8)2.8965,t

0.01

(9)2.8214

）

解：

H

0

:

8.42,H

1

:

8.42

拒绝域：

tt

0.01

(8)2.8965

t

x8.42

14.42.8965

s

n

拒绝原假设。

23

7. 甲、乙两厂生产同一种电阻，现从甲乙两厂的产品中分别随机抽取12个和10个样品，

测得它们的电阻值后，计算出样本方差分别为

s

1

1.40

，

s

2

4.38

.假设电阻值服从正态

分布，在显著性水平

0.10

下，我们是否可以认为两厂生产的电阻值的方差相等？

（

F

0.025

(9,11)3.59,F

0.05

(9,11)2.90,F

0.10

(9,11)2.27

F

0.05

(11,9)3.1

）

2222

解：

H

0

:

1

2

,H

1

:

1

2

22

拒绝域：

FF

0.05

(11,9)3.1或者FF

0.95

(11,9)

1

0.345

2.9

F

1.4

0.319

4.38

拒绝原假设

8．从某地区的男子中分两组,A组：19人测得血压的样本方差为526.5，B组：21人，测得

血压的样本方差为200.8，其中A，B两组的数据均来自于正态总体，两组样本互相独立，

并且总体的期望和方差均未知，能否认为A组的方差比B组的大？（

0.1

）

（

F

0.1

(19,21)1.80,F

0.05

(19,21)2.12,F

0.1

(18,20)1.81

）

2222

解：

H

0

:

A

B

,H

1

:

A

B

拒绝域：

FF

0.1

(18,20)1.81

F

526.5

2.62

200.8

拒绝原假设。

9．一项研究工作是比较70%（A）和20%（B）相对湿度下一种蛹的生长重量，A种抽取了

容量为17的一个样本，其样本均值为25.51，样本均方差为2.34；B种抽取了容量为16的

一个样本，其样本均值为18.73，样本均方差为1.64，两个样本依次来自两个互相独立的正

态总体，并且总体的均值和方差均未知，在显著性水平0.05下，检验假设

2222

H

0

:

A

B

,H

1

:

A

B

(

F

0.025

(17,16)2.75,F

0.025

(16,15)2.81,F

0.05

(17,16)2.32,F

0.05

(16,15)2.37

)

2222

解：

H

0

:

A

B

,H

1

:

A

B

拒绝域：

FF

0.05

(16,15)2.37

F

2.34

1.43

接受原假设。

1.64

24