2024年4月1日发(作者：)

复习：对于连续型随机变量，我们需要掌握那些内容？

1、对于连续型的随机变量，我们考察事件X = x的概率没有什么意义，而必须了解事件a

 b的概率，这个概率是一个积分形式：

b

P(axb)

f(x)dxF(b)F(a)

a

2、清楚什么是概率密度函数：f (x)

我们用密度函数f (x)在[a, b]区间上的面积来表示随机变量X落在该区间的概率

解释：为什么f (x)被称为概率密度函数？根据导数的定义可知，

f(x)lim

F(xx)F(x)

（是不是很类似我们以前学过的频率密度公式？）

x0

x

x

3、清楚什么是累积分布函数：F (x)

F(x)P(Xx)

4、分布函数

F(x)

与概率密度函数

f(x)

的关系

b



f(t)dt

P(axb)

f(x)dxF(b)F(a)

a

5、理解均匀分布，指数分布和伽玛分布及其它们的应用，并会用Excel求指数分布和伽玛

的概率值

§3 随机变量的数字特征

在前面，我们看到，对于离散型的随机变量，我们可以作出它的概率分布图，对于连续型随

机变量，我们可以作出它的概率密度图，这些都非常类似于我们在描述统计中学到的频率或

频数分布图。这意味着对于随机变量，我们也可以来研究类似于平均数、方差这样的数字特

征。

与平均数相对应的概念是数学期望，它反映随机变量取值的平均，另一个仍然是方差，它反

映随机变量分布偏离期望的分散程度。

一、随机变量的数学期望

1、定义：设X是离散型随机变量，X取值

x

1

,x

2

...x

i

...

，其相应的概率为

p

1

,p

2

,...p

i

,...,

则

称

E(X)

xp

i

i

i

为X的数学期望。若X是连续型随机变量，有概率密度函数f（x），则称



E(X)

xf(x)dx



为X的数学期望。

f (x)

x

i-1



i

x

i

x

令

i

为无限分割后区间

x

i1

,x

i

的组中值，

（回忆一下运用分组资料计算平均数的情形：

X

Xw

）

ii

i1

k

E(X)

i

p

i

i

x

i

f(

i

)

，当

x

i

0

时，

i

x

i

ii

对上式求极限得到：

E(X)lim

x

i

0

i



i

f(

i

)x

i



xf(x)dx

从随机变量数学期望的定义看出，随机变量的数学期望就是随机变量所有可能取值的加权平

均数，类似于我们前面学过的一组数字的算术平均数。从形式上看，确实如此，只不过数学

期望是用概率加权，而一般平均数用频率加权，但它们实质上是不同的。一般平均数说明的

是实际存在的平均水平，数学期望反映的则是预期的平均结果。因为概率是一种事前的预期，

所以用概率加权得到的数学期望是事前预期的平均数，而非实际存在的平均水平。

例：某国际旅行团规定每位旅客须参加意外险，保险赔付额是每位旅客$10000。假如每次旅

游发生事故的概率为1/200，则平均的保费应是多少？

解：保险公司付给每位旅客$10000的概率是0.005（1/200），令X代表保险公司付给旅客的

赔付金，则X的概率分布为：

X 0 10000

p

i

0.995 0.005